利用Python学习线性代数 -- 1.1 线性方程组

利用Python学习线性代数系列，第一节

本节实现的主要功能函数，在源码文件linear_system中，后续章节将作为基本功能调用。

线性方程

线性方程组由一个或多个线性方程组成，如
\[ \begin{array}\\ x_1 - 2 x_2 &= -1\\ -x_1 + 3 x_2 &= 3 \end{array} \]

求包含两个变量两个线性方程的方程组的解，等价于求两条直线的交点。
这里可以画出书图1-1和1-2的线性方程组的图形。
通过改变线性方程的参数，观察图形，体会两个方程对应直线平行、相交、重合三种可能。

那么，怎么画二元线性方程的直线呢？

方法是这样的：
假如方程是 \(a x_1 + b x_2 = c\) 的形式，可以写成 \(x_2 = (c - a x_1) / b\)。
在以 \(x_1\) 和\(x_2\)为两个轴的直角坐标系中，\(x_1\)取一组值，如 \((-3, -2.9, -2.8, \dots, 2.9, 3.0)\)，
计算相应的 \(x_2\)，然后把所有点 \((x_1, x_2)\) 连起来成为一条线。
当 \(b\) 为 \(0\) 时， 则在\(x_1 = c / a\)处画一条垂直线。

# 引入Numpy和 Matplotlib库
import numpy as np
from matplotlib import pyplot as plt

Matplotlib 是Python中使用较多的可视化库，这里只用到了它的一些基本功能。

def draw_line(a, b, c, start=-4,
stop=5, step=0.01):
"""根据线性方程参数绘制一条直线"""
# 如果b为0，则画一条垂线
if np.isclose(b, 0):
plt.vlines(start, stop, c / a)
else: # 否则画 y = (c - a*x) / b
xs = np.arange(start, stop, step)
plt.plot(xs, (c - a*xs)/b)

# 1.1 图1-1
draw_line(1, -2, -1)
draw_line(-1, 3, 3)

def draw_lines(augmented, start=-4,
stop=5, step=0.01):
"""给定增广矩阵，画两条线."""
plt.figure()
for equation in augmented:
draw_line(*equation, start, stop, step)
plt.show()

# Fig. 1-1
# 增广矩阵用二维数组表示
# [[1, -2, -1], [-1, 3, 3]]
# 这些数字对应图1-1对应方程的各项系数
draw_lines([[1, -2, -1], [-1, 3, 3]])

# Fig. 1-2
draw_lines([[1, -2, -2], [-1, 2, 3]])
# Fig. 1-3
draw_lines([[1, -2, -1], [-1, 2, 1]])

• 建议：改变这些系数，观察直线，体会两条直线相交、平行和重合的情况

例如

draw_lines([[1, -2, -2], [-1, 2, 9]])

如果对Numpy比较熟悉，则可以采用更简洁的方式实现上述绘图功能。
在计算多条直线方程时，可以利用向量编程的方式，用更少的代码实现。

def draw_lines(augmented, start=-4,
stop=5, step=0.01):
"""Draw lines represented by augmented matrix on 2-d plane."""
am = np.asarray(augmented)
xs = np.arange(start, stop, step).reshape([1, -1])
# 同时计算两条直线的y值
ys = (am[:, [-1]] - am[:, [1]]*xs) / am[:, [0]]
for y in ys:
plt.plot(xs[0], y)
plt.show()

矩阵记号

矩阵是一个数表，在程序中通常用二维数组表示，例如

# 嵌套列表表示矩阵
matrix = [[1, -2, 1, 0],
[0, 2, -8, 8],
[5, 0, -5, 10]]
matrix

[[1, -2, 1, 0], [0, 2, -8, 8], [5, 0, -5, 10]]

实际工程和研究实践中，往往会采用一些专门的数值计算库，简化和加速计算。
Numpy库是Python中数值计算的常用库。
在Numpy中，多维数组类型称为ndarray，可以理解为n dimensional array。
例如

# Numpy ndarray 表示矩阵
matrix = np.array([[1, -2, 1, 0],
[0, 2, -8, 8],
[5, 0, -5, 10]])
matrix

array([[ 1, -2,  1,  0],
[ 0,  2, -8,  8],
[ 5,  0, -5, 10]])

解线性方程组

本节解线性方程组的方法是 高斯消元法，利用了三种基本行变换。

1. 把某个方程换成它与另一个方程的倍数的和；
2. 交换两个方程的位置；
3. 某个方程的所有项乘以一个非零项。

假设线性方程的增广矩阵是\(A\)，其第\(i\)行\(j\)列的元素是\(a_{ij}\)。
消元法的基本步骤是：

• 增广矩阵中有 \(n\) 行，该方法的每一步处理一行。
  在第\(i\)步，该方法处理第\(i\)行 若\(a_{ii}\)为0，则在剩余行 \(\{j| j \in (i, n]\}\)中选择绝对值最大的行\(a_{ij}\) 若\(a_{ij}\)为0，返回第1步。
  1. 否则利用变换2，交换\(A\)的第\(i\)和\(j\)行。

为了理解这些步骤的实现，这里先按书中的例1一步步计算和展示，然后再总结成完整的函数。
例1的增广矩阵是

\[ \left[ \begin{array} &1 & -2 & 1 & 0\\ 0 & 2 & -8 & 8\\ 5 & 0 & -5 & 10 \end{array} \right] \]

# 增广矩阵
A = np.array([[1, -2, 1, 0],
[0, 2, -8, 8],
[5, 0, -5, 10]])
# 行号从0开始，处理第0行
i = 0
# 利用变换3，将第i行的 a_ii 转成1。这里a_00已经是1，所不用动
# 然后利用变换1，把第1行第0列，第2行第0列都减成0。
# 这里仅需考虑i列之后的元素，因为i列之前的元素已经是0
#   即第1行减去第0行的0倍
#   而第2行减去第0行的5倍
A[i+1:, i:] = A[i+1:, i:] - A[i+1:, [i]] * A[i, i:]
A

array([[  1,  -2,   1,   0],
[  0,   2,  -8,   8],
[  0,  10, -10,  10]])

i = 1
# 利用变换3，将第i行的 a_ii 转成1。
A[i] = A[i] / A[i, i]
A

array([[  1,  -2,   1,   0],
[  0,   1,  -4,   4],
[  0,  10, -10,  10]])

# 然后利用变换1，把第2行第i列减成0。
A[i+1:, i:] = A[i+1:, i:] - A[i+1:, [i]] * A[i, i:]
A

array([[  1,  -2,   1,   0],
[  0,   1,  -4,   4],
[  0,   0,  30, -30]])

i = 2
# 利用变换3，将第i行的 a_ii 转成1。
A[i] = A[i] / A[i, i]
A

array([[ 1, -2,  1,  0],
[ 0,  1, -4,  4],
[ 0,  0,  1, -1]])

消元法的前向过程就结束了，我们可以总结成一个函数

def eliminate_forward(augmented):
"""
消元法的前向过程.

返回行阶梯形，以及先导元素的坐标（主元位置）
"""
A = np.asarray(augmented, dtype=np.float64)
# row number of the last row
pivots = []
i, j = 0, 0
while i < A.shape[0] and j < A.shape[1]:
A[i] = A[i] / A[i, j]
if (i + 1) < A.shape[0]: # 除最后一行外
A[i+1:, j:] = A[i+1:, j:] - A[i+1:, [j]] * A[i, j:]
pivots.append((i, j))
i += 1
j += 1
return A, pivots

这里有两个细节值得注意

1. 先导元素 \(a_{ij}\)，不一定是在主对角线位置，即 \(i\) 不一定等于\(j\).
2. 最后一行只需要用变换3把先导元素转为1，没有剩余行需要转换

# 测试一个增广矩阵，例1
A = np.array([[1, -2, 1, 0],
[0, 2, -8, 8],
[5, 0, -5, 10]])
A, pivots = eliminate_forward(A)
print(A)
print(pivots)

[[ 1. -2.  1.  0.]
[ 0.  1. -4.  4.]
[ 0.  0.  1. -1.]]
[(0, 0), (1, 1), (2, 2)]

消元法的后向过程则更简单一些，对于每一个主元(这里就是前面的\(a_{ii}\))，将其所在的列都用变换1，使其它行对应的列为0.

for i, j in reversed(pivots):
A[:i, j:] = A[:i, j:] - A[[i], j:] * A[:i, [j]]
A

array([[ 1.,  0.,  0.,  1.],
[ 0.,  1.,  0.,  0.],
[ 0.,  0.,  1., -1.]])

def eliminate_backward(simplified, pivots):
"""消元法的后向过程."""
A = np.asarray(simplified)
for i, j in reversed(pivots):
A[:i, j:] = A[:i, j:] - A[[i], j:] * A[:i, [j]]
return A

至此，结合 eliminate_forward 和eliminate_backward函数，可以解形如例1的线性方程。

然而，存在如例3的线性方程，在eliminate_forward算法进行的某一步，主元为0，需要利用变换2交换两行。
交换行时，可以选择剩余行中，选择当前主元列不为0的任意行，与当前行交换。
这里每次都采用剩余行中，当前主元列绝对值最大的行。
补上行交换的前向过程函数如下

def eliminate_forward(augmented):
"""消元法的前向过程"""
A = np.asarray(augmented, dtype=np.float64)
# row number of the last row
pivots = []
i, j = 0, 0
while i < A.shape[0] and j < A.shape[1]:
# if pivot is zero, exchange rows
if np.isclose(A[i, j], 0):
if (i + 1) < A.shape[0]:
max_k = i + 1 + np.argmax(np.abs(A[i+1:, i]))
if (i + 1) >= A.shape[0] or np.isclose(A[max_k, i], 0):
j += 1
continue
A[[i, max_k]] = A[[max_k, i]]
A[i] = A[i] / A[i, j]
if (i + 1) < A.shape[0]:
A[i+1:, j:] = A[i+1:, j:] - A[i+1:, [j]] * A[i, j:]
pivots.append((i, j))
i += 1
j += 1
return A, pivots

行交换时，有一种特殊情况，即剩余所有行的主元列都没有非零元素。
这种情况下，在当前列的右侧寻找不为零的列，作为新的主元列。

# 用例3测试eliminate_forward
aug = [[0, 1, -4, 8],
[2, -3, 2, 1],
[4, -8, 12, 1]]
echelon, pivots = eliminate_forward(aug)
print(echelon)
print(pivots)

[[ 1.   -2.    3.    0.25]
[ 0.    1.   -4.    0.5 ]
[ 0.    0.    0.    1.  ]]
[(0, 0), (1, 1), (2, 3)]

例3化简的结果与书上略有不同，由行交换策略不同引起，也说明同一个矩阵可能由多个阶梯形。

结合上述的前向和后向过程，即可以给出一个完整的消元法实现

def eliminate(augmented):
"""
利用消元法前向和后向步骤，化简线性方程组.

如果是矛盾方程组，则仅输出前向化简结果，并打印提示
否则输出简化后的方程组，并输出最后一列
"""
print(np.asarray(augmented))
A, pivots = eliminate_forward(augmented)
print(" The echelon form is\n", A)
print(" The pivots are: ", pivots)
pivot_cols = {p[1] for p in pivots}
simplified = eliminate_backward(A, pivots)
if (A.shape[1]-1) in pivot_cols:
print(" There is controdictory.\n", simplified)
elif len(pivots) == (A.shape[1] -1):
print(" Solution: ", simplified[:, -1])
is_correct = solution_check(np.asarray(augmented),
simplified[:, -1])
print(" Is the solution correct? ", is_correct)
else:
print(" There are free variables.\n", simplified)
print("-"*30)

eliminate(aug)

[[ 0  1 -4  8]
[ 2 -3  2  1]
[ 4 -8 12  1]]
The echelon form is
[[ 1.   -2.    3.    0.25]
[ 0.    1.   -4.    0.5 ]
[ 0.    0.    0.    1.  ]]
The pivots are:  [(0, 0), (1, 1), (2, 3)]
There is controdictory.
[[ 1.  0. -5.  0.]
[ 0.  1. -4.  0.]
[ 0.  0.  0.  1.]]
------------------------------

利用 Sympy 验证消元法实现的正确性

Python的符号计算库Sympy，有化简矩阵为行最简型的方法，可以用来检验本节实现的代码是否正确。

# 导入 sympy的 Matrix模块
from sympy import Matrix

Matrix(aug).rref(simplify=True)
# 返回的是行最简型和主元列的位置

(Matrix([
[1, 0, -5, 0],
[0, 1, -4, 0],
[0, 0,  0, 1]]), (0, 1, 3))

echelon, pivots = eliminate_forward(aug)
simplified = eliminate_backward(echelon, pivots)
print(simplified, pivots)
# 输出与上述rref一致

[[ 1.  0. -5.  0.]
[ 0.  1. -4.  0.]
[ 0.  0.  0.  1.]] [(0, 0), (1, 1), (2, 3)]

综合前向和后向步骤，并结果的正确性

综合前向和后向消元，就可以得到完整的消元法过程。
消元结束，如果没有矛盾（最后一列不是主元列），基本变量数与未知数个数一致，则有唯一解，可以验证解是否正确。
验证的方法是将解与系数矩阵相乘，检查与原方程的b列一致。

def solution_check(augmented, solution):
# 系数矩阵与解相乘
b = augmented[:, :-1] @ solution.reshape([-1, 1])
b = b.reshape([-1])
# 检查乘积向量与b列一致
return all(np.isclose(b - augmented[:, -1], np.zeros(len(b))))

def eliminate(augmented):
from sympy import Matrix
print(np.asarray(augmented))
A, pivots = eliminate_forward(augmented)
print(" The echelon form is\n", A)
print(" The pivots are: ", pivots)
pivot_cols = {p[1] for p in pivots}
simplified = eliminate_backward(A, pivots)
if (A.shape[1]-1) in pivot_cols: # 最后一列是主元列
print(" There is controdictory.\n", simplified)
elif len(pivots) == (A.shape[1] -1): # 唯一解
is_correct = solution_check(np.asarray(augmented),
simplified[:, -1])
print(" Is the solution correct? ", is_correct)
print(" Solution: \n", simplified)
else: # 有自由变量
print(" There are free variables.\n", simplified)
print("-"*30)
print("对比Sympy的rref结果")
print(Matrix(augmented).rref(simplify=True))
print("-"*30)

测试书中的例子

aug_1_1_1 = [[1, -2, 1, 0],
[0, 2, -8, 8],
[5, 0, -5, 10]]
eliminate(aug_1_1_1)
# 1.1 example 3
aug_1_1_3 = [[0, 1, -4, 8],
[2, -3, 2, 1],
[4, -8, 12, 1]]
eliminate(aug_1_1_3)
eliminate([[1, -6, 4, 0, -1],
[0, 2, -7, 0, 4],
[0, 0, 1, 2, -3],
[0, 0, 3, 1, 6]])
eliminate([[0, -3, -6, 4, 9],
[-1, -2, -1, 3, 1],
[-2, -3, 0, 3, -1],
[1, 4, 5, -9, -7]])

eliminate([[0, 3, -6, 6, 4, -5],
[3, -7, 8, -5, 8, 9],
[3, -9, 12, -9, 6, 15]])

[[ 1 -2  1  0]
[ 0  2 -8  8]
[ 5  0 -5 10]]
The echelon form is
[[ 1. -2.  1.  0.]
[ 0.  1. -4.  4.]
[ 0.  0.  1. -1.]]
The pivots are:  [(0, 0), (1, 1), (2, 2)]
Is the solution correct?  True
Solution:
[[ 1.  0.  0.  1.]
[ 0.  1.  0.  0.]
[ 0.  0.  1. -1.]]
------------------------------
对比Sympy的rref结果
(Matrix([
[1, 0, 0,  1],
[0, 1, 0,  0],
[0, 0, 1, -1]]), (0, 1, 2))
------------------------------
[[ 0  1 -4  8]
[ 2 -3  2  1]
[ 4 -8 12  1]]
The echelon form is
[[ 1.   -2.    3.    0.25]
[ 0.    1.   -4.    0.5 ]
[ 0.    0.    0.    1.  ]]
The pivots are:  [(0, 0), (1, 1), (2, 3)]
There is controdictory.
[[ 1.  0. -5.  0.]
[ 0.  1. -4.  0.]
[ 0.  0.  0.  1.]]
------------------------------
对比Sympy的rref结果
(Matrix([
[1, 0, -5, 0],
[0, 1, -4, 0],
[0, 0,  0, 1]]), (0, 1, 3))
------------------------------
[[ 1 -6  4  0 -1]
[ 0  2 -7  0  4]
[ 0  0  1  2 -3]
[ 0  0  3  1  6]]
The echelon form is
[[ 1.  -6.   4.   0.  -1. ]
[ 0.   1.  -3.5  0.   2. ]
[ 0.   0.   1.   2.  -3. ]
[-0.  -0.  -0.   1.  -3. ]]
The pivots are:  [(0, 0), (1, 1), (2, 2), (3, 3)]
Is the solution correct?  True
Solution:
[[ 1.   0.   0.   0.  62. ]
[ 0.   1.   0.   0.  12.5]
[ 0.   0.   1.   0.   3. ]
[-0.  -0.  -0.   1.  -3. ]]
------------------------------
对比Sympy的rref结果
(Matrix([
[1, 0, 0, 0,   62],
[0, 1, 0, 0, 25/2],
[0, 0, 1, 0,    3],
[0, 0, 0, 1,   -3]]), (0, 1, 2, 3))
------------------------------
[[ 0 -3 -6  4  9]
[-1 -2 -1  3  1]
[-2 -3  0  3 -1]
[ 1  4  5 -9 -7]]
The echelon form is
[[ 1.   1.5 -0.  -1.5  0.5]
[-0.   1.   2.  -3.  -3. ]
[-0.  -0.  -0.   1.  -0. ]
[ 0.   0.   0.   0.   0. ]]
The pivots are:  [(0, 0), (1, 1), (2, 3)]
There are free variables.
[[ 1.  0. -3.  0.  5.]
[-0.  1.  2.  0. -3.]
[-0. -0. -0.  1. -0.]
[ 0.  0.  0.  0.  0.]]
------------------------------
对比Sympy的rref结果
(Matrix([
[1, 0, -3, 0,  5],
[0, 1,  2, 0, -3],
[0, 0,  0, 1,  0],
[0, 0,  0, 0,  0]]), (0, 1, 3))
------------------------------
[[ 0  3 -6  6  4 -5]
[ 3 -7  8 -5  8  9]
[ 3 -9 12 -9  6 15]]
The echelon form is
[[ 1.         -2.33333333  2.66666667 -1.66666667  2.66666667  3.        ]
[ 0.          1.         -2.          2.          1.33333333 -1.66666667]
[ 0.          0.          0.          0.          1.          4.        ]]
The pivots are:  [(0, 0), (1, 1), (2, 4)]
There are free variables.
[[  1.   0.  -2.   3.   0. -24.]
[  0.   1.  -2.   2.   0.  -7.]
[  0.   0.   0.   0.   1.   4.]]
------------------------------
对比Sympy的rref结果
(Matrix([
[1, 0, -2, 3, 0, -24],
[0, 1, -2, 2, 0,  -7],
[0, 0,  0, 0, 1,   4]]), (0, 1, 4))
------------------------------