线性代数基本公式结论简要总结(5)

本文总结对称矩阵、二次型和奇异值分解等内容。

由于对称矩阵具有许多良好的性质，工程上被广泛应用。二次型和奇异值分解也是由对称矩阵具有的特殊性质推广得到的

首先不要忘了之前讲特征值时提到的对角化公式：

A=PDP−1A=PDP−1

A具有n个线性无关的特征值，P的列空间由A的特征向量构成，D是对角线元素为A的特征值的对角矩阵

若A为对称矩阵，则其不同特征空间中（一个特征值对应的所有特征向量构成的子空间）的任意两个向量正交，即P为正交矩阵

一个方阵A可正交对角化的充要条件：A是对称矩阵

对称矩阵的谱定理：

矩阵A的特征值的集合称为A的谱。若A为n*n对称矩阵，有：

1.A有n个实数特征值（包括重复的特征值）

2.对每一个特征值，对应的特征子空间的维数等于λλ作为特征方程的根的重数

3.特征空间相互正交

4.A可正交对角化

因此对于对称矩阵，有一下有趣形式的谱分解：

A=PDPT=[λ
4000
1u1...λnun][uT1...uTn]TA=PDPT=[λ1u1...λnun][u1T...unT]T

A=λ1u1uT1+...+λnunuTnA=λ1u1u1T+...+λnununT

即A可分解为由A的特征值作为权重的各个小部分，显然，对于λλ值较小的部分，可以适当忽略，只留下一些较大特征值的加权和，而不影响原矩阵整体的特征表达

二次型：

RnRn上的一个二次型是一个定义在RnRn上的函数，它在向量x处的值可以由表达式Q(x)=xTAxQ(x)=xTAx计算，此处A是一个n阶对称矩阵，且矩阵A成为关于二次型的矩阵

可以看到，如果矩阵A是对角矩阵，则多项式Q(x)没有交叉项，否则有交叉项。这时我们想要通过适当的变量代换消去所有的交叉项

二次型的变量代换：

如果x表示RnRn中的向量变量，则变量代换是如下形式的等式：

x=Pyx=Py 或 y=P−1xy=P−1x

其中P是可逆矩阵且y是RnRn中的一个新变量，P的列可以确定RnRn的一个基，y是相对于该基向量x的坐标向量。将上述等式带入原式，有：

xTAx=yT(PTAP)yxTAx=yT(PTAP)y

从而新的二次型矩阵为PTAPPTAP，由于A是对称矩阵，因此存在正交矩阵P，使得PTAPPTAP为对角矩阵D（对角元素为A的特征值）：

xTAx=yTDyxTAx=yTDy

这样一来，就消除了原来多项式中的交叉项

上述去除交叉项的变换中，矩阵P的列称为二次型xTAxxTAx的主轴，向量y是向量x在由这些主轴构造的RnRn空间的单位正交基下的坐标向量

主轴的几何意义：

不失一般性，考虑矩阵A为2阶对称方阵，c为常数，则所有对应下式的x的集合，对应一个椭圆或圆、双曲线、两条相交直线或单个点、或为空集：

xTAx=cxTAx=c

xTAx=yTDyxTAx=yTDy 的变换相当于是对曲线做了旋转，即旋转了原始的水平和竖直坐标轴

二次型的分类：

def:一个二次型Q是：

1.正定的：对所有非零x，有Q(x)>0

2.负定的：对所有非零x，有Q(x)<0

3.不定的：Q(x)正负值均存在

A为n阶矩阵，则二次型对应特征值有：

1.正定：当且仅当A的所有特征值均为正数

2.负定：当且仅当A的所有特征值均为负数

3.不定：当且仅当A既有正特征值，又有负特征值

相应的矩阵分为：正定矩阵、负定矩阵、不定矩阵

奇异值分解：

考虑到并不是所有矩阵都能对角化分解为：A=PDP−1A=PDP−1，但是，所有矩阵都可以分解为如下形式，也就是奇异值分解：

A=QDP−1A=QDP−1

其中D是”对角矩阵“。它是线性代数中最有用的矩阵分解

一个mn矩阵的奇异值：

设A是mn矩阵，则ATAATA是对称矩阵且可以正交对角化，令{v1,...vnv1,...vn}为RnRn单位正交基且构成ATAATA的特征向量，{λ1...λnλ1...λn}是AATAAT对应的特征值，则有：

||Avi||2=(Avi)TAvi=vTiATAvi=vTi(λivi)=λi||Avi||2=(Avi)TAvi=viTATAvi=viT(λivi)=λi

可见ATAATA的所有特征值均非负，不妨将其从大到小排序。则A的奇异值为ATAATA的特征值的平方根，记为σ1,...,σnσ1,...,σn，且按递减顺序排列，因此A的奇异值即为向量Av1,Av2,...AvnAv1,Av2,...Avn的长度

在数值计算中，A的秩往往对A中元素的微小变化很敏感，为此在计算矩阵的秩时，通常采用计算非零奇异值的个数的方法得到秩的值

SVD分解：

矩阵A的分解涉及一个m*n的“对角矩阵”Σ，形式如下：

Σ=Σ=

几何意义：

我们知道，一个向量被一个对角矩阵左乘，相当于在原空间中做了水平和竖直两方向的拉伸，被一个对称矩阵左乘，相当于在原空间中先做了绕原点的旋转，然后再做了沿两个坐标轴的拉伸。而被一个mn矩阵左乘，则会使空间维度发生改变，相当于对向量做了高维或低维的投影，然后在做旋转或拉伸变换

在SVD分解公式中，矩阵∑起到改变空间维度的作用，UU和VTVT起到在新的空间中旋转并拉伸的作用

协方差矩阵：

主成分分析(PCA)：