寒假训练报告1.31(最小生成树)
2018-01-31 20:23
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前提条件:生成树是否存在 <=> 图是否连通
1.Prim算法(加点法)
适用范围:稠密图
算法描述:从只包含一个顶点v的树T,贪心地选取T和其他顶点之间相连的最小权值的边,并把它加到T中。
查找最小权值的边:把X和顶点V连接的边的最小权值记为mincost[v],向X添加顶点u时,查看和u相连的边,对于每条边,更新mincost[v] = min( mincost[v], e[u][v])
时间复杂度:每次都遍历未包含在X中的点的mincost[v],O(|V|^2),使用堆维护为O(|E|log|V|)
2.Kruskal算法(加边法)
适用范围:稀疏图
算法描述:按照边的权值的顺序从小到大查看一遍,如果不产生圈(或重边),就把当前边加入到生成树中。
判断是否产生圈:使用并查集高效地判断是否属于同一个连通分量。
时间复杂度:排序最费时,O(|E|log|V|)
例题
POJ 3723
求征募人员关系之间的最大值
无向图最大权森林问题,可以将所有边权取反之后用最小生成树Kruskal的问题求解。
1.Prim算法(加点法)
适用范围:稠密图
算法描述:从只包含一个顶点v的树T,贪心地选取T和其他顶点之间相连的最小权值的边,并把它加到T中。
查找最小权值的边:把X和顶点V连接的边的最小权值记为mincost[v],向X添加顶点u时,查看和u相连的边,对于每条边,更新mincost[v] = min( mincost[v], e[u][v])
时间复杂度:每次都遍历未包含在X中的点的mincost[v],O(|V|^2),使用堆维护为O(|E|log|V|)
int mp[maxn][maxn]; //边e=(u,v)的权值 int dis[maxn]; //从集合X出发的边到每个顶点的最小权值 bool vis[maxn]; //顶点i是否包含在集合X中 void Prim(){ fill(vis, vis + n, 0); fill(dis, dis + n, INF); dis[0] = 0; int ans = 0; while(true){ int v = -1; //从不属于X的顶点中选取从X到其权值最小的顶点 for(int u = 0; u < n; u++) if(!vis[u] && (v == -1 || dis[u] < dis[v])) v = u; if(v == -1) break; vis[v] = 1; //把顶点v加入X ans += dis[v]; //把边的长度加到结果里 for(int u = 0; u < n; u++) dis[u] = min(dis[u], mp[v][u]); } return ans; }
2.Kruskal算法(加边法)
适用范围:稀疏图
算法描述:按照边的权值的顺序从小到大查看一遍,如果不产生圈(或重边),就把当前边加入到生成树中。
判断是否产生圈:使用并查集高效地判断是否属于同一个连通分量。
时间复杂度:排序最费时,O(|E|log|V|)
struct edge{ int u, v, cost; }s[maxn]; bool cmp(const edge& e1, const edge& e2){ return e1.cost < e2.cost; } int V, E; //顶点数和边数 int Kruskal(){ sort(s, s + E, cmp); Init(V); //并查集的初始化 int ans = 0; for(int i = 0; i < E; i++){ edge e = s[i]; if(!same(e.u, e.v)){ Union(e.u, e.v); ans += e.cost; } } return ans; }
例题
POJ 3723
求征募人员关系之间的最大值
无向图最大权森林问题,可以将所有边权取反之后用最小生成树Kruskal的问题求解。
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