蓝桥杯 历届试题 小朋友排队

问题描述

　　n 个小朋友站成一排。现在要把他们按身高从低到高的顺序排列，但是每次只能交换位置相邻的两个小朋友。

　　每个小朋友都有一个不高兴的程度。开始的时候，所有小朋友的不高兴程度都是0。

　　如果某个小朋友第一次被要求交换，则他的不高兴程度增加1，如果第二次要求他交换，则他的不高兴程度增加2（即不高兴程度为3），依次类推。当要求某个小朋友第k次交换时，他的不高兴程度增加k。

　　请问，要让所有小朋友按从低到高排队，他们的不高兴程度之和最小是多少。

　　如果有两个小朋友身高一样，则他们谁站在谁前面是没有关系的。

输入格式

　　输入的第一行包含一个整数n，表示小朋友的个数。

　　第二行包含 n 个整数 H1 H2 … Hn，分别表示每个小朋友的身高。

输出格式

　　输出一行，包含一个整数，表示小朋友的不高兴程度和的最小值。

样例输入

3

3 2 1

样例输出

9

样例说明

　　首先交换身高为3和2的小朋友，再交换身高为3和1的小朋友，再交换身高为2和1的小朋友，每个小朋友的不高兴程度都是3，总和为9。

数据规模和约定

　　对于10%的数据， 1<=n<=10；

　　对于30%的数据， 1<=n<=1000；

　　对于50%的数据， 1<=n<=10000；

　　对于100%的数据，1<=n<=100000，0<=Hi<=1000000。

思路：

这道题本来是C++组的题，用java做的话同样的算法会超时，但是其思想是相同的，这道题用的是树状数组求逆序对的方法做的，首先我们要知道为啥要求逆序对。

这道题我刚开始以为是一道排序的题目，而且用冒泡排序做了一下，然后竟然过了3个测试点，后来一查发现这道题其实求的是逆序对，冒泡的思想不能确保求得的不高兴程度之和最小，我们观察样例可以看出，一个孩子要移动几次，是取决于他的左边有多少孩子比他高 + 它的右边有多少孩子比他低。比如“3 ，2，1”，其中“3”移动两次，是因为他的右边有两个孩子比他低，“2”移动两次是因为他左边有一个比他高，右边有一个比他低，同理，“1”也是这样，所以可以得出，孩子移动的次数 = 左边孩子比他高的个数 + 右边孩子比他低的个数。这其实就是求这个元素的逆序对的个数，如果不知道逆序对，可以百度一下。

知道了要求什么，我们就要想该怎么求，首先想到用暴力的方法求，但是数据量很大，明显会超时，这时候就需要用树状数组了，不知道树状数组的同学，可以：戳我一下，对应到这道题里，我们就可以先用“front”数组，预先把被移动n次后的不高兴值全算出来，然后直接用就可以了,对应到代码里就是

init()

函数。

这里，我们还是以题目中给出的数据为例“3，2，1”

由于树状数组是从1开始的，而题目中小盆友的身高可以为0（真是长见识了），所以我们将每个小盆友的身高加1然后作为树状数组的下标，可以看到sum(C[1],C[4])=1，这个是小于等于3的数字的个数，也就是说当输入第一个数字3的时候没有比它小的数字存在，这时我们用“输入数字总数-sum(C[1],C[4])=0”，也就是说大于3的数字的个数为0，我们令ans[0]=0。

第二次读入2，此时读入的数据量为2个，可以看到sum(C[1],C[3])=1，仍然不存在比它小的数，但此时输入的数据总量为2，而2-1=1，就是说，存在一个数在2之前并且大于2，这个数当然就是3，我们另\ans[1]=1。

第三次读入1，此时读入的数据量为3，可以看到sum(C[1],C[2])=1，任然不存在比它小的数，但此时输入的数据总量为3，而3-1=2，就是说，存在两个数在1之前并且大于1，这个数当然就是“2，3”，我们令ans[2]=2。

到此，我们已经算出了每个孩子前面比他大的个数了，数据存在num[]中，现在我们再反过来，先插入1，再插入2，再插入3，但这次我们不再用总数减去sum了，而直接求sum，求出来的自然就是，每个数后面的较小的数的个数，然后将得到的数值累加到相应的ans[i]中，最终我们会得到ans[0]=2,ans[1]=2,ans[2]=2,分别对应num[0]=3,num[1]=2,num[2]=1。

这里我们不用担心重复的问题，因为我们用在计算每个孩子左边比他大的个数时，用的是“输入数字总数 - 小于等于该孩子身高的人数”。

代码：

import java.util.*;
import java.io.*;
import java.math.*;
public class Main {
static final int max = 1000010;
static int[] front = new int[max];
static int[] c1 = new int[max];
static int[] c2 = new int[max];
static int[] num = new int[max];
static int[] ans = new int[max];
public static void main(String[] args) {
Scanner cin = new Scanner(new BufferedInputStream(System.in));
int n = cin.nextInt();
init();
for(int i=0;i<n;i++) {
num[i] = cin.nextInt();
add(num[i]+1, 1, c1);
int sumf = sum(num[i]+1, c1);
ans[i] = i+1-sumf;
}
for(int i=n-1;i>=0;i--) {
add(num[i]+1, 1, c2);
ans[i] += sum(num[i], c2);
}
long anssum = 0;
for(int i=0;i<n;i++) {
anssum += front[ans[i]];
}
System.out.println(anssum);
}
public static void init() {
front[1] = 1;
for(int i=2;i<max;i++) {
front[i] += front[i-1] + i;
}
}
public static int lowbit(int x) {
return x & (-x);
}
public static void add(int index, int num, int[] c) {
while(index < max) {
c[index] += num;
index += lowbit(index);
}
}
public static int sum(int index, int[] c) {
int sum = 0;
while(index > 0) {
sum += c[index];
index -= lowbit(index);
}
return sum;
}
}