MIT线性代数第一讲方程组的几何解释

核心思想:

向量间的基本运算时数乘cvcv和加法v+wv+w,其中vv和ww是向量，cc代表数字。

线性组合可表示为:cv+dwcv+dw。

矩阵和向量的乘法AxAx可以解释为矩阵AA各列的线性组合。

Column picture: Ax=bAx=b是找一个矩阵各列的线性组合使之等于bb。

Row picture: 每一个等式Ax=bAx=b表示一条直线(n=2)或者平面(n=3)或者一个超平面(n>3)。

求解方程组

{2x−x−+y2y==03(710)(710){2x−y=0−x+2y=3

写成矩阵形式：

[2−1−12]+[xy]=[03](711)(711)[2−1−12]+[xy]=[03]

1. Row Picture:表示方程所示的两条直线相交于一个点。



可以得到函数的解为：

[12](712)(712)[12]

2. Column Picture:通过左侧矩阵的列向量的线性组合来产生b。

x[2−1]+y[−12]=[03](713)(713)x[2−1]+y[−12]=[03]



可以得到函数的解为：

[12](714)(714)[12]

对任意b是否有解 ⇔⇔列的线性组合是否能覆盖整个空间。

非奇异矩阵即可逆矩阵可以。

如果是奇异矩阵，在行图像中看至少有两个方程组所表示的平面是平行的，在列图像中看至少有两个列向量是指向同一方向的。此时，只有b处在这个向量和另一个非共线向量所表示的平面内，方程组才有解。

关键词：线性组合