homology的几何解释
2014-03-03 23:44
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Homology的几何解释
(未完待续)
以前不知道Homology的几何解释,只知道中文译名叫同调。网上未找到详细答案,翻看了好几本射影几何书也没有答案。现在终于找到了: 在Liugi
Cremona 的“Elements of Projective Geometry”书上。有整整的2章(3到4章)共23节(18到41节)都讨论Homology,包括平面的Homology与空间的Homology,阅读它们有些麻烦,缺少插图,还要利用到前面第2章的一些结果。下面我将它翻译出来,增加一些插图,并重新组织。
同调的定义见下,它是同一平面π上2个图形之间的一种关系,但其定义要牵涉到另一平面π'上的一个图形:
【定义】平面π上两个图形F1与F2称为同调的,如果它们都是另一平面π'上的同一个图形F的透视投影,这2个透视投影的透视中心S1与S2在π,π'外。
如下图,位于下面左下方稍有倾斜的平面π'上的一个三角形,以S1与S2为透视中心,将它投影到后一平面π上所得到的两个三角形就是同调的图形。
图1定义平面π上两个图形同调要用到另个平面π'的一个图形
[b]同调的图形有下列性质:[/b]
【定理1】同调对应图形是射影对应的图形。
【证】因F1与F为相互透视的图形,F与F2为相互透视的图形,所以根据任意次的透视对应为射影对应的定义,F1与F2为相互射影对应的图形。
【定理2】同调图形的任意对应边(延长后)必相交于两个平面[b]π,π'的交线上;[/b]
【证】证明方法和Desargues定理的证明方法相同,可证F1与F的任何对应边交在π,π'平面的交线上一点,同样F2与F的任何对应边也的任何边也交在π,π'平面的交线上一点,所以F1与F2的任何对应边交在π,π'平面的交线上同一点。
【定理3】同调对应图形是相互透视对应的图形。
【证】这是因为,。
[b] 这一定理极其深刻的反映了同调图形的性质,或许正因为有此性质,人们就把同调理解为就是透视。[/b]
[b] [/b]
该书包含的各章内容为:
Central Projection - Figures In Perspective -
Homology - Homological Figures In Space -
Geometric Forms - The Principle Of Duality -
Projective Geometric Forms - Harmonic Forms -
Anharmonic Ratios - Construction Of Projective Forms -
Particular Cases And Exercises - Involution -
Projective Forms In Relation To The Circle - Projective Forms In Relation To The Conic Sections -
Constructions And Exercises - Deductions From The Theorems Of Pascal And Brianchon -
Desargue's Theorem - Self Corresponding Elements And Double Elements -
Problems Of The Second Degree - Pole And Polar -
The Center And Diameter Of The Conic - Polar Reciprocal Figures -
Foci - Corollaries And Constructions
(未完待续)
以前不知道Homology的几何解释,只知道中文译名叫同调。网上未找到详细答案,翻看了好几本射影几何书也没有答案。现在终于找到了: 在Liugi
Cremona 的“Elements of Projective Geometry”书上。有整整的2章(3到4章)共23节(18到41节)都讨论Homology,包括平面的Homology与空间的Homology,阅读它们有些麻烦,缺少插图,还要利用到前面第2章的一些结果。下面我将它翻译出来,增加一些插图,并重新组织。
同调的定义见下,它是同一平面π上2个图形之间的一种关系,但其定义要牵涉到另一平面π'上的一个图形:
【定义】平面π上两个图形F1与F2称为同调的,如果它们都是另一平面π'上的同一个图形F的透视投影,这2个透视投影的透视中心S1与S2在π,π'外。
如下图,位于下面左下方稍有倾斜的平面π'上的一个三角形,以S1与S2为透视中心,将它投影到后一平面π上所得到的两个三角形就是同调的图形。
图1定义平面π上两个图形同调要用到另个平面π'的一个图形
[b]同调的图形有下列性质:[/b]
【定理1】同调对应图形是射影对应的图形。
【证】因F1与F为相互透视的图形,F与F2为相互透视的图形,所以根据任意次的透视对应为射影对应的定义,F1与F2为相互射影对应的图形。
【定理2】同调图形的任意对应边(延长后)必相交于两个平面[b]π,π'的交线上;[/b]
【证】证明方法和Desargues定理的证明方法相同,可证F1与F的任何对应边交在π,π'平面的交线上一点,同样F2与F的任何对应边也的任何边也交在π,π'平面的交线上一点,所以F1与F2的任何对应边交在π,π'平面的交线上同一点。
【定理3】同调对应图形是相互透视对应的图形。
【证】这是因为,。
[b] 这一定理极其深刻的反映了同调图形的性质,或许正因为有此性质,人们就把同调理解为就是透视。[/b]
[b] [/b]
该书包含的各章内容为:
Central Projection - Figures In Perspective -
Homology - Homological Figures In Space -
Geometric Forms - The Principle Of Duality -
Projective Geometric Forms - Harmonic Forms -
Anharmonic Ratios - Construction Of Projective Forms -
Particular Cases And Exercises - Involution -
Projective Forms In Relation To The Circle - Projective Forms In Relation To The Conic Sections -
Constructions And Exercises - Deductions From The Theorems Of Pascal And Brianchon -
Desargue's Theorem - Self Corresponding Elements And Double Elements -
Problems Of The Second Degree - Pole And Polar -
The Center And Diameter Of The Conic - Polar Reciprocal Figures -
Foci - Corollaries And Constructions
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