施密特正交化的几何解释

线性代数中最头疼的公式恐怕就是施密特正交化了。但其实搞清楚它的几何原理之后公式的记忆就简单多了，数学重在理解!

给定一组基α1,α2,...,αn,将其变换成另外一组正交基β1,β2,...,βn,使这两组基等价

施密特正交化方法：

β1=α1

β2=α2−(α2,β1)(β1,β1)β1

…

βn=αn−(αn,β1)(β1,β1)β1−(αn,β2)(β2,β2)β2−...−(αn,βn−1)(βn−1,βn−1)βn−1

首先清除一个公式，两个向量α,β,那么α在β上的投影向量为(α,β)(β,β)β

如图红色部分即为投影部分



则蓝色部分向量为α2−(α2,β1)(β1,β1)β

对应两个向量的施密特法则

β1=α1

β2=α2−(α2,β1)(β1,β1)β1

可见蓝色向量为β2与β1是垂直的

而当向量个数为3时，对应三维空间的几何解释如图



其中绿色的为需要正交的原始基αi（α1是红色的因为α1同时也是β1）

将二维得到的β2平移到坐标原点出后则α3在xoy平面的投影即是α3−(α3,β1)(β1,β1)β1−(α3,β2)(β2,β2)β2,即α3在β1和β2上的投影组成的平行四边形的斜边，则得到的β3就是α3与该投影的向量差，即红色部分的β3,显然可以看出来β1,β2,β3是正交的。

同样可以推广到三维以上的欧氏空间Rm,即施密特正交公式。