[DP]斜率优化学习小结

蒟蒻花了一个晚上研究斜率优化qwq 不过大概还是搞明白了.

斜率优化是啥

其实是一种优化动态规划的方法.我认为斜率优化是建立在决策单调性的基础上的.如对于形如这样的状态转移方程f[i]=min/max(f[j]+xxx(j<i))其复杂度为O(n2)而我们通过化式子来得到无论对于哪一个i,在j点进行决策一定要比k点进行决策更优,可以证明时间复杂度可降为O(n)

如何进行斜率优化?

首先先从一道入门题开始吧!

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首先我们可以很容易地得到朴素的状态转移方程:f[i]=min(f[j]+(sum[i]−sum[j]+i−j−1−L)2) 其中sum[i]表示c[i]的前缀和,且j<i

接下来考虑优化,我们设j<k且在k决策比在j决策更优,即有f[k]+(sum[i]+i−sum[k]−k−1−L)2<f[j]+(sum[i]+i−sum[j]−j−1−L)2

设T[i]=sum[i]+i

则我们展开上式有f[k]−f[j]+(T[k]+L+1)2−(T(j)+L+1)22∗(T[k]−T[j])<T[i]

我们设yi=f[i]−(T[i]+L+1)2,xi=2∗T[i]

则上式可以化为yk−yjxk−xj<T[i]

我们发现对于k=j+1 则在j+1决策比在j决策更优当且仅当yj+1−yjxj+1−xj<T[i],即我们可以舍去j这个决策点.

那么我们可以用单调队列维护这个上凸性的东西,l代表队首,r代表队尾

而当yi−yq[r]xi−xq[r]<yq[r]−yq[r−1]xq[r]−xq[r−1]时,在r-1决策一定要比在r决策要更优,pop队尾

代码如下

#include<iostream>
#include<iomanip>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<cstring>
#define maxn 50010
#define ll long long
using namespace std;
ll n,s[maxn],f[maxn],l,q[maxn],head,tail;
ll p(ll v) {return s[v]+v;}
double xl(ll k,ll j)
{return (f[k]-f[j]+(p(k)+l)*(p(k)+l)-(p(j)+l)*(p(j)+l))/(2.0*(p(k)-p(j)));}
int main()
{
scanf("%lld%lld",&n,&l);l++;
for(ll i=1;i<=n;++i)
{scanf("%lld",&s[i]);s[i]+=s[i-1];}
head=tail=1;
for(int i=1;i<=n;++i)
{
while(head<tail&&xl(q[head],q[head+1])<=p(i)) head++;
ll j=q[head];
f[i]=f[j]+(p(i)-p(j)-l)*(p(i)-p(j)-l);
while(head<tail&&xl(q[tail-1],q[tail])>xl(q[tail],i)) tail--;
q[++tail]=i;
}
cout<<f
;
return 0;
}

送几道水题:

BZOJ1597

BZOJ1911

BZOJ3156