BZOJ 1010-玩具装箱toy（DP+斜率优化）

1010: [HNOI2008]玩具装箱toy

Time Limit: 1 Sec  Memory Limit: 162 MB
Submit: 10900  Solved: 4548

[Submit][Status][Discuss]

Description

　　P教授要去看奥运，但是他舍不下他的玩具，于是他决定把所有的玩具运到北京。他使用自己的压缩器进行压

缩，其可以将任意物品变成一堆，再放到一种特殊的一维容器中。P教授有编号为1...N的N件玩具，第i件玩具经过

压缩后变成一维长度为Ci.为了方便整理，P教授要求在一个一维容器中的玩具编号是连续的。同时如果一个一维容

器中有多个玩具，那么两件玩具之间要加入一个单位长度的填充物，形式地说如果将第i件玩具到第j个玩具放到一

个容器中，那么容器的长度将为 x=j-i+Sigma(Ck) i<=K<=j 制作容器的费用与容器的长度有关，根据教授研究，

如果容器长度为x,其制作费用为(X-L)^2.其中L是一个常量。P教授不关心容器的数目，他可以制作出任意长度的容

器，甚至超过L。但他希望费用最小.

Input

　　第一行输入两个整数N，L.接下来N行输入Ci.1<=N<=50000,1<=L,Ci<=10^7

Output

　　输出最小费用

Sample Input

5 4

3

4

2

1

4

Sample Output

1

HINT

Source

做的第二道斜率优化题目，和人生第一道斜率优化题一模一样，
唯一的不同便是“斜率”的表达式不同而已

直接给出dp方程:

fi=min{fj+(sumi−sumj+i−j−L−1)2}(j<i)

我们用Si表示sumi+i
p表示L+1那么方程可化为:

fi=min{fj+(Si−Sj−P)2}(j<i)

假设存在j<k<i使得k更优.那么化简后就有:

(fk+Sk2+2PSk)−(fj+Sj2+2PSj)2(Sk−Sj)<Si

之后就可以像前面那样斜率优化了。。

#include<map>
#include<stack>
#include<queue>
#include<vector>
#include<math.h>
#include<stdio.h>
#include<iostream>
#include<string.h>
#include<algorithm>
using namespace std;
typedef long long  ll;
#define  maxn 1000004
ll q[maxn],x[maxn],dp[maxn],sum[maxn],n,m;
ll read()
{
ll x=0,f=1;char ch=getchar();
while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
while(ch>='0'&&ch<='9'){x=x*10+ch-'0';ch=getchar();}
return f*x;
}
ll work(ll x)
{
return x*x;
}
double  slop(int j,int i)
{
return (double)(dp[i]-dp[j]+work(sum[i]+i)-work(sum[j]+j)+2*(m+1)*((sum[i]+i)-sum[j]-j))/(double)(2*(sum[i]+i-sum[j]-j));
}
int  main(void)
{
ll l=0,i,j,r=0;
n=read();m=read();
for(i=1;i<=n;i++)
{
x[i]=read();
sum[i]=sum[i-1]+x[i];
}
for(i=1;i<=n;i++)
{
while(l<r && slop(q[l],q[l+1])<sum[i]+i)
l++;
ll tmp=q[l];
dp[i]=dp[tmp]+(sum[i]-sum[tmp]+i-tmp-m-1)*(sum[i]-sum[tmp]+i-tmp-m-1);
while(l<r && slop(q[r-1],q[r])>slop(q[r],i))
r--;
q[++r]=i;
}
printf("%lld\n",dp
);
return 0;
}