LeetCode#53暨最大连续子序列和问题

这是一道很有意思的算法题。说它有意思包含了几个方面的内容：首先，它的直观上的求解显而易见、非常容易，但是它的优化求解直到上世纪八十年代才被发现；其次，很多算法书籍（例如《算法导论》、《编程珠玑》，以及Mark Allen Weiss的算法书等）都会讨论它，可见它已经是算法设计的典型教学案例了；最后，它也是各种IT公司笔试面试时常常考察的一道经典算法题目（LeetCode网站上它的题目编号是53）。

来看一下LeetCode网站上关于这道题目的描述：



一、解决方法（一）：Brute Force

暴搜的方法最straightforward，我们不做解释。仅给出实现代码如下：
class Solution {
public:
int maxSubArray(vector<int>& nums) {
//int length = nums.size();

int sum = 0;
int max = -2147483648;

for(vector<int>::iterator it1 = nums.begin(); it1 != nums.end(); it1++){
sum = *it1;
if(max < sum)
max = sum;

for (vector<int>::iterator it2 = it1+1; it2 != nums.end(); it2++) {
sum += *it2;

if(max < sum)
max = sum;
}
}

return max;
}
};
但是，BF的复杂度是 O(n2)，如果你将上述答案提交到LeetCode，则会显示超时！

二、解决方法（二）:  Divide to Conquer

算法导论上有讨论这个方法。它的基本认识是，如果把数组分成左右两段，那么加和最大的连续子序列，要么出现在数组的左半部分，要么出现在数组的右半部分，要么出现在中间，即从左半部分和右半部分相邻的地方各区一段。所以可以用分治法来求解，具体实现时需要借助递归。实例代码如下：
class Solution {
public:

int maxSubSumRec(vector<int>& nums, int left, int right){

if(left >= right){
return nums[left];
}

int i,center;
center = (left + right)/2;
int lmax = maxSubSumRec(nums, left, center - 1);
int rmax = maxSubSumRec(nums, center +1, right);
int mmax = nums[center], t = mmax;

for(i = center - 1; i >= left; --i){
t += nums[i];
mmax = max(mmax, t);
}

t = mmax;
for(i = center + 1; i <=right; ++i){
t += nums[i];
mmax = max(mmax, t);
}

return max(mmax, max(lmax, rmax));
}

int maxSubArray(vector<int>& nums) {

int length = int(nums.size()-1);
return maxSubSumRec(nums, 0, length);
}
};
算法的复杂度是O(nlogn)。

三、解决方法（三）:  Dynamic Programming

这个算法又称为Kadane算法，它是又美国卡耐基梅隆大学的教授Kadane发明的一种用于求解最大连续子序列和问题的最优算法。对于一个长度为n的数组A而言，从A[0] 到 A[j] 是一个子数组（j<n），那么以A[j]结尾的子数组之最大和，要么是 A[j]， 要么是 max(A[i]~A[j-1])+A[j] ，其中0 ≤ i ≤ j-1。这就是该算法设计的出发点。
如果你需要了解Kadane算法的更多细节，参考文献【1】是讲解该算法的一个非常好的视频。下面我直接给出基于该算法实现的程序代码：

class Solution {
public:

int maxSubArray(vector<int>& nums) {

vector<int>::iterator it = nums.begin();
int maxSum = *it;
int theSum = *it;

for(it = it+1 ; it != nums.end(); it++){
theSum = max(theSum + *it, *it);

if(theSum > maxSum)
maxSum = theSum;
}

return maxSum;
}
};上述实现的复杂度是O(n)。

最后给出一个用来测试上述函数执行的主程序代码：
#include <iostream>
#include <vector>

using namespace std;

int main(int argc, const char * argv[]) {

int n[] = {6,85,46,-74,26,30,25,-15,-22};

vector<int> a(n,n+9);

Solution sol;
cout<<sol.maxSubArray(a)<<endl;

return 0;
}

参考文献

【1】https://www.youtube.com/watch?v=86CQq3pKSUw

（本文完）

本博客中已经讨论过的LeetCode题目列表

LeetCode中的两道动态规划题目（#62、#63）

LeetCode中的动态规划题目解答（2）(#64)

LeetCode中的动态规划题目解答（3）（#72、#718）

最大连续子序列和问题（#53）

看看你是否真正掌握了Binary Search(#35)

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