算法分析——最大连续子序列和的问题
2016-02-28 23:53
309 查看
最大连续子序列求和问题
问题引出:
给定整数A1,A2,A3···AN(可能有负数),求解的最大值。如果所有的整数全是负数,则最大连续子序列的和为零。
举个例子,如果输入{-2,11,-4,13,-5,2},那么答案是20,它代表的连续序列是从第2项至第4项。再举一个例子,输入为{1,-3,4,-2,-1,6},那么答案是7,这个子序列包括最后4项。
·简单的O(N3)算法
·改进的O(N2)算法
·线性算法
设Ai,j是任意一个子序列,它包含的元素从i到j,设Si,j是Ai,j的和。
则有如下结论:
1.设Ai,j是任意Si,j < 0的序列,如果q > j ,那么Ai,q 肯定不是最大连续子序列。(因为如果Si,j < 0,那么最大连续子序列完全可以排除Ai,j 这些元素,取之后的人一个非负元素作为最大连续子序列)
2.对于任意i,设Ai,j 是一个序列,且Si,j < 0 ,那么,对于任意i <= p <= j ,且 p <= q, 那么Ap,q要么不是最大连续子序列的和,要么等于已出现的最大连续子序列。
证明如下:
如果 p = i,则应用结论1 。否则,有Si,q = Si,p-1 + Sp,q 。因为Si,j < 0 ,j是最低的下标,所以Si,p-1 >= 0。因此Sp,q <= Si,q 。当q > j时,有结论1知,Ai,q 不是最大连续子序列,而由Sp,q <= Si,q 得知,Ap,q也不是最大连续子序列。如果q <= j,则Ap,q 的和最多与已出现的子序列Ai,q 的和相等。
据以上两个结论,可以得到优化的线性算法
package com.zgy.datastructures.maxsubsequence; /** * * @author yaguanzhou * @version 1.0 * */ public class MaxSubSequence { public static int start = 0; public static int end = 0; public static void main(String[] args) { int[] testArray = { 1, -3, 8, 11, -5, 21, 19, -20 }; int max_n3 = maxSubSequenceSum_N3(testArray); System.out.println("最大子序列:" + "从 第" + (start + 1) + "到第" + (end + 1) + "个元素,子序列的和为:" + max_n3); int max_n2 = maxSubSequenceSum_N2(testArray); System.out.println("最大子序列:" + "从 第" + (start + 1) + "到第" + (end + 1) + "个元素,子序列的和为:" + max_n2); int max_n1 = maxSubSequenceSum_N1(testArray); System.out.println("最大子序列:" + "从 第" + (start + 1) + "到第" + (end + 1) + "个元素,子序列的和为:" + max_n1); } /** * 此方法的时间复杂度为N的3次方 * * @param int[] arr * @return maxSum */ public static int maxSubSequenceSum_N3(int[] arr) { int maxSum = 0;// 最大子序列的和 for (int i = 0; i < arr.length; i++) {// 从数组中的第一个元素开始循环 for (int j = i; j < arr.length; j++) {// 从当前元素开始,叠加其后的元素 int currentSum = 0; for (int k = i; k <= j; k++) {// 从当前元素开始叠加到其后特定位置上的元素 currentSum += arr[k]; } if (currentSum > maxSum) { maxSum = currentSum; start = i; end = j; } } } return maxSum; } /** * 此方法的时间复杂度为N的2次方 a56a * * @param int[] arr * @return maxSum */ public static int maxSubSequenceSum_N2(int[] arr) { int maxSum = 0;// 最大子序列的和 for (int i = 0; i < arr.length; i++) {// 从数组中的第一个元素开始循环 int currentSum = 0; for (int j = i; j < arr.length; j++) {// 从当前元素开始,叠加其后的元素 currentSum += arr[j]; if (currentSum > maxSum) { maxSum = currentSum; start = i; end = j; } } } return maxSum; } /** * 此方法的时间复杂度为O(N) * * @param int[] arr * @return maxSum */ public static int maxSubSequenceSum_N1(int[] arr) { int maxSum = 0;// 最大子序列的和 int currentSum = 0; for (int i = 0, j = 0; j < arr.length; j++) {// 从数组中的第一个元素开始循环 currentSum += arr[j]; if (currentSum > maxSum) { maxSum = currentSum; start = i; end = j; } else if (currentSum < 0) {//如果叠加得到和小于0,则舍弃之前的元素,往后继续叠加 i = j + 1; currentSum = 0; } } return maxSum; } }
输出:
最大子序列:从 第3到第7个元素,子序列的和为:54
最大子序列:从 第3到第7个元素,子序列的和为:54
最大子序列:从 第3到第7个元素,子序列的和为:54
相关文章推荐
- 书评:《算法之美( Algorithms to Live By )》
- 动易2006序列号破解算法公布
- Ruby实现的矩阵连乘算法
- C#插入法排序算法实例分析
- 超大数据量存储常用数据库分表分库算法总结
- C#数据结构与算法揭秘二
- C#冒泡法排序算法实例分析
- 算法练习之从String.indexOf的模拟实现开始
- C#算法之关于大牛生小牛的问题
- C#实现的算24点游戏算法实例分析
- c语言实现的带通配符匹配算法
- 浅析STL中的常用算法
- 算法之排列算法与组合算法详解
- C++实现一维向量旋转算法
- Ruby实现的合并排序算法
- C#折半插入排序算法实现方法
- 基于C++实现的各种内部排序算法汇总
- C++线性时间的排序算法分析
- C++实现汉诺塔算法经典实例
- PHP实现克鲁斯卡尔算法实例解析