[置顶] 二分查找各种情况大总结

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二分查找多次刷题时遇到，虽然每次也能写对，但花了蛮多时间，没好好想过。而且网上的太多版本，并不是很简洁，而且边界条件变化情况太多，容易混淆，下面是自己对二分查找的一些思考和总结，尽量写得简单易懂。

三种基本版本：

1.1 二分查找原始版--查找某个数的下标（任意一个）

在有序数组中查找某个数，找到返回数的下标，存在多个返回任意一个即可，没有返回-1。所有程序采用左右均为闭区间，即函数中n为最后一个元素下标，而不是元素个数。典型代码如下：

[java]
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print?

public int binarySearch(int[] a, int n, int key){  
        //n + 1 个数  
        int low = 0;  
        int high = n;  
        int mid = 0;  
        while(low <= high) {  
            mid = low + ((high-low) >> 1);  
            if(key == a[mid]) {  
                return mid;  
            } else if(key < a[mid]) {  
                high = mid - 1;  
            } else {  
                low = mid + 1;  
            }  
        }  
        return -1;  
    }  

public int binarySearch(int[] a, int n, int key){
//n + 1 个数
int low = 0;
int high = n;
int mid = 0;
while(low <= high) {
mid = low + ((high-low) >> 1);
if(key == a[mid]) {
return mid;
} else if(key < a[mid]) {
high = mid - 1;
} else {
low = mid + 1;
}
}
return -1;
}

1.2 查找第一个大于等于某个数的下标

例：int[] a = {1,2,2,2,4,8,10}，查找2，返回第一个2的下标1；查找3，返回4的下标4；查找4，返回4的下标4。如果没有大于等于key的元素，返回-1。

下面是代码，改动只有两处：

[java]
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public int firstGreatOrEqual(int[] a, int n, int key){  
        //n + 1 个数  
        int low = 0;  
        int high = n;  
        int mid = 0;  
        while(low <= high) {  
            mid = low + ((high-low) >> 1);  
            if(key <= a[mid]) {  
                high = mid - 1;  
            } else {  
                low = mid + 1;  
            }  
        }  
        return low <= n ? low : -1;  
    }  

public int firstGreatOrEqual(int[] a, int n, int key){
//n + 1 个数
int low = 0;
int high = n;
int mid = 0;
while(low <= high) {
mid = low + ((high-low) >> 1);
if(key <= a[mid]) {
high = mid - 1;
} else {
low = mid + 1;
}
}
return low <= n ? low : -1;
}

解释：
1、条件为key<=a[mid]，意思是key小于等于中间值，则往左半区域查找。如在 {1,2,2,2,4,8,10}查找2，第一步，low=0, high=6, 得mid=3, key <= a[3]，往下标{1,2,2}中继续查找。

2、终止前一步为: low=high，得mid = low，此时如果key <= a[mid]，则high会改变，而low指向当前元素，即为满足要求的元素。如果key > a[mid]，则low会改变，而low指向mid下一个元素。

3、如果key大于数组最后一个元素，low最后变为n+1，即没有元素大于key，需要返回 -1。

1.3 查找第一个大于某个数的下标

例：int[] a = {1,2,2,2,4,8,10}，查找2，返回4的下标4；查找3，返回4的下标4；查找4，返回8的下标5。如果没有大于key的元素，返回-1。

如下是代码，与上面大于等于某个数仅判断一个符号不同：

[java]
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public int firstGreat(int[] a, int n, int key){  
        //n + 1 个数  
        int low = 0;  
        int high = n;  
        int mid = 0;  
        while(low <= high) {  
            mid = low + ((high-low) >> 1);  
            if(key < a[mid]) {  
                high = mid - 1;  
            } else {  
                low = mid + 1;  
            }  
        }  
        return low <= n ? low : -1;  
    }  

public int firstGreat(int[] a, int n, int key){
//n + 1 个数
int low = 0;
int high = n;
int mid = 0;
while(low <= high) {
mid = low + ((high-low) >> 1);
if(key < a[mid]) {
high = mid - 1;
} else {
low = mid + 1;
}
}
return low <= n ? low : -1;
}

以上原型的扩展应用

2.1 查找数组中某个数的位置的最小下标，没有返回-1

直接用上面1.2，但需要处理一下，即当返回的low位置不等于key时，也返回-1。如下：

[java]
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public int firstIndex(int[] a, int n, int key){  
        //n + 1 个数  
        int low = 0;  
        int high = n;  
        int mid = 0;  
        while(low <= high) {  
            mid = low + ((high-low) >> 1);  
            if(key <= a[mid]) {  
                high = mid - 1;  
            } else {  
                low = mid + 1;  
            }  
        }  
        return (low <= n) && (a[low] == key) ? low : -1;  
    }  

public int firstIndex(int[] a, int n, int key){
//n + 1 个数
int low = 0;
int high = n;
int mid = 0;
while(low <= high) {
mid = low + ((high-low) >> 1);
if(key <= a[mid]) {
high = mid - 1;
} else {
low = mid + 1;
}
}
return (low <= n) && (a[low] == key) ? low : -1;
}

2.2 查找数组中某个数的位置的最大下标，没有返回-1

直接用上面1.3，得到的下标 - 1即可，但也需要处理一下，即不用判断low <= n，而是判断low-1>=0，且返回的low-1位置等于key时，才返回位置low - 1。如下：

[java]
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public int lastIndex(int[] a, int n, int key){  
        //n + 1 个数  
        int low = 0;  
        int high = n;  
        int mid = 0;  
        while(low <= high) {  
            mid = low + ((high-low) >> 1);  
            if(key < a[mid]) {  
                high = mid - 1;  
            } else {  
                low = mid + 1;  
            }  
        }  
        return (low - 1 >= 0 && (a[low - 1] == key))? low - 1: -1;  
    }  

public int lastIndex(int[] a, int n, int key){
//n + 1 个数
int low = 0;
int high = n;
int mid = 0;
while(low <= high) {
mid = low + ((high-low) >> 1);
if(key < a[mid]) {
high = mid - 1;
} else {
low = mid + 1;
}
}
return (low - 1 >= 0 && (a[low - 1] == key))? low - 1: -1;
}

2.3 查找数组中小于某个数的最大下标，没有返回-1

直接用上面1.2，返回的low-1位置即为可能的位置。也需要处理一下，需要low-1>=0。

[java]
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print?

public int firstLess(int[] a, int n, int key) {  
        // n + 1 个数  
        int low = 0;  
        int high = n;  
        int mid = 0;  
        while (low <= high) {  
            mid = low + ((high - low) >> 1);  
            if (key <= a[mid]) {  
                high = mid - 1;  
            } else {  
                low = mid + 1;  
            }  
        }  
        return (low - 1 >= 0) ? low - 1 : -1;  
    }  

public int firstLess(int[] a, int n, int key) {
// n + 1 个数
int low = 0;
int high = n;
int mid = 0;
while (low <= high) {
mid = low + ((high - low) >> 1);
if (key <= a[mid]) {
high = mid - 1;
} else {
low = mid + 1;
}
}
return (low - 1 >= 0) ? low - 1 : -1;
}

2.4 查找数组中某个数的出现次数

直接使用1.2,1.3即可，但需要修改1.2，1.3的返回条件，当low>n时，直接返回low。举例说明：int[] a = {1,2,2,2,4,8,10}，查找10的个数，根据1.2程序得到low = 6，而1.3程序返回值 = -1，不符合。因此需要将1.3得到的low = n + 1值返回即可。同理，如果查找15，此时1.2程序返回值为-1，也得改为直接返回low = n+1。

使用1.2,1.3，分别求得下界first和上界last，两个相减即(last - first)是key出现次数。如下：

[java]
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public int getCount(int[] a, int n, int key) {  
    // n + 1 个数  
    int first = firstGreatOrEqual2(a, n, key);  
    int last = firstGreat2(a, n, key);  
    return last - first;  
}  
  
public int firstGreatOrEqual2(int[] a, int n, int key) {  
    // n + 1 个数  
    int low = 0;  
    int high = n;  
    int mid = 0;  
    while (low <= high) {  
        mid = low + ((high - low) >> 1);  
        if (key <= a[mid]) {  
            high = mid - 1;  
        } else {  
            low = mid + 1;  
        }  
    }  
    return low;  
}  
  
public int firstGreat2(int[] a, int n, int key) {  
    // n + 1 个数  
    int low = 0;  
    int high = n;  
    int mid = 0;  
    while (low <= high) {  
        mid = low + ((high - low) >> 1);  
        if (key < a[mid]) {  
            high = mid - 1;  
        } else {  
            low = mid + 1;  
        }  
    }  
    return low;  
}  

public int getCount(int[] a, int n, int key) {
// n + 1 个数
int first = firstGreatOrEqual2(a, n, key);
int last = firstGreat2(a, n, key);
return last - first;
}

public int firstGreatOrEqual2(int[] a, int n, int key) {
// n + 1 个数
int low = 0;
int high = n;
int mid = 0;
while (low <= high) {
mid = low + ((high - low) >> 1);
if (key <= a[mid]) {
high = mid - 1;
} else {
low = mid + 1;
}
}
return low;
}

public int firstGreat2(int[] a, int n, int key) {
// n + 1 个数
int low = 0;
int high = n;
int mid = 0;
while (low <= high) {
mid = low + ((high - low) >> 1);
if (key < a[mid]) {
high = mid - 1;
} else {
low = mid + 1;
}
}
return low;
}

总结下：

1、写此文章的目的是总结多种二分查找相似问题，网上的太多代码，边界条件杂乱且不容易理解。这里先总结出最基本的三种情况代码，再用三种情况的代码求解相似问题，理解复杂度降低。

2、一些问题，需要自己多总结，才能有理解深刻，才能写出最适合自己理解的代码。

本文代码已测试过，如有错误，请不吝赐教。