二分查找总结

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二分查找，最基本的算法之一，也是面试中常被考察的重点，因为基本的算法最能反映出一个人的基础是否扎实。本文对二分查找相关题目做一个总结。

题目列表：

1. 给定一个有序（非降序）数组A，求任意一个i使得A[i]等于target，不存在则返回-1

2. 给定一个有序（非降序）数组A，可含有重复元素，求最小的i使得A[i]等于target，不存在则返回-1

3. 给定一个有序（非降序）数组A，可含有重复元素，求最大的i使得A[i]等于target，不存在则返回-1

4. 给定一个有序（非降序）数组A，可含有重复元素，求最大的i使得A[i]小于target，不存在则返回-1

5. 给定一个有序（非降序）数组A，可含有重复元素，求最小的i使得A[i]大于target，不存在则返回-1

6. 给定一个有序（非降序）数组A，可含有重复元素，求target在数组中出现的次数。

7. 给定一个有序（非降序）数组A，若target在数组中出现，返回位置，若不存在，返回它应该插入的位置。

8. 给定一个有序（非降序）数组A，可含有重复元素，求绝对值最小的元素的位置

9. 给定一个有序（非降序）数组A和一个有序（非降序）数组B，可含有重复元素，求两个数组合并结果中的第k(k>=0)个数字。

10. 一个有序（升序）数组，没有重复元素，在某一个位置发生了旋转后，求target在变化后的数组中出现的位置，不存在则返回-1.

11. 一个有序（升序）数组，没有重复元素，在某一个位置发生了旋转后，求最小值所在位置

12. 一个有序（升序）数组，没有重复元素，在某一个位置发生了旋转后，求第k(k > 0)小元素



1. 给定一个有序（非降序）数组A，求任意一个i使得A[i]等于target，不存在则返回-1

这个是最原始的二分查找题目，利用数组的有序特性，拆半查找，使得查找时间复杂度为O(logN)。请参考实现代码与注释。

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int search(int A[], int n, int target)

{

int low = 0, high = n-1;

while(low <= high)

{

// 注意：若使用(low+high)/2求中间位置容易溢出

int mid = low+((high-low)>>1);

if(A[mid] == target)

return mid;

else if(A[mid] < target)

low = mid+1;

else // A[mid] > target

high = mid-1;

}

return -1;

}

2. 给定一个有序（非降序）数组A，可含有重复元素，求最小的i使得A[i]等于target，不存在则返回-1

此题也就是求target在数组中第一次出现的位置。这里可能会有人想先直接用原始的二分查找，如果不存在直接返回-1，如果存在，然后再顺序找到这个等于target值区间的最左位置，这样的话，最坏情况下的复杂度就是O（n）了，没有完全发挥出二分查找的优势。这里的解法具体过程请参考实现代码与注释。

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int searchFirstPos(int A[], int n, int target)

{

if(n <= 0) return -1;

int low = 0, high = n-1;

while(low < high)

{

int mid = low+((high-low)>>1);

if(A[mid] < target)

low = mid+1;

else // A[mid] >= target

high = mid;

}

/*

循环过程中，当low大于0时，A[low-1]是小于target的，因为A[mid] < target时，

low=mid+1；当high小于n-1时，A[high]是大于等于target的，因为A[mid] >= target时，

high = mid；循环结束时，low 等于 high，所以，如果A[low](A[high])等于target，

那么low(high)就是target出现的最小位置，否则target在数组中不存在。

*/

if(A[low] != target)

return -1;

else

return low;

}

3. 给定一个有序（非降序）数组A，可含有重复元素，求最大的i使得A[i]等于target，不存在则返回-1

此题也就是求target在数组中最后一次出现的位置。与上一题基本一样，但是有个地方要注意，具体请参考实现代码与注释。

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int searchLastPos(int A[], int n, int target)

{

if(n <= 0) return -1;

int low = 0, high = n-1;

while(low < high)

{

/*

这里中间位置的计算就不能用low+((high-low)>>1)了，因为当low+1等于high

且A[low] <= target时，会死循环；所以这里要使用low+((high-low+1)>>1)，

这样能够保证循环会正常结束。

*/

int mid = low+((high-low+1)>>1);

if(A[mid] > target)

high = mid-1;

else // A[mid] <= target

low = mid;

}

/*

循环过程中，当high小于n-1时，A[high+1]是大于target的，因为A[mid] > target时，

high=mid-1；当low大于0时，A[low]是小于等于target的，因为A[mid] <= target时，

low = mid；循环结束时，low 等于 high，所以，如果A[high](A[low])等于target，

那么high(low)就是target出现的最大位置，否则target在数组中不存在。

*/

if(A[high] != target)

return -1;

else

return high;

}

4. 给定一个有序（非降序）数组A，可含有重复元素，求最大的i使得A[i]小于target，不存在则返回-1。

也就是求小于target的最大元素的位置。请参考实现代码与注释。

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int searchLastPosLessThan(int A[], int n, int target)

{

if(n <= 0) return -1;

int low = 0, high = n-1;

while(low < high)

{

int mid = low+((high-low+1)>>1); // 注意，不要导致死循环

if(A[mid] < target)

low = mid;

else // A[mid] >= target

high = mid-1;

}

/*

循环过程中，当low大于0时，A[low]是小于target的，因为A[mid] < target时，

low=mid；当high小于n-1时，A[high+1]是大于等于target的，因为A[mid] >= target时，

high = mid-1；循环结束时，low 等于 high，所以，如果A[low](A[high])小于target，

那么low(high)就是要找的位置，否则不存在这样的位置（A[0] >= target时）。

*/

return A[low] < target ? low : -1;

}

5. 给定一个有序（非降序）数组A，可含有重复元素，求最小的i使得A[i]大于target，不存在则返回-1。

也就是求大于target的最小元素的位置。请参考实现代码与注释。

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int searchFirstPosGreaterThan(int A[], int n, int target)

{

if(n <= 0) return -1;

int low = 0, high = n-1;

while(low < high)

{

int mid = low+((high-low)>>1);

if(A[mid] > target)

high = mid;

else // A[mid] <= target

low = mid+1;

}

/*

循环过程中，当low大于0时，A[low-1]是小于等于target的，因为A[mid] <= target时，

low=mid+1；当high小于n-1时，A[high]是大于target的，因为A[mid] > target时，

high = mid；循环结束时，low 等于 high，所以，如果A[high](A[low])大于target，

那么high(low)就是要找的位置，否则不存在这样的位置（A[n-1] <= target时）。

*/

return A[high] > target ? high : -1;

}

6. 给定一个有序（非降序）数组A，可含有重复元素，求target在数组中出现的次数

求出第一次出现位置和最后一次出现位置。由于前面都已实现，这里不多解释。请参考实现代码与注释

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int count(int A[], int n, int target)

{

int firstPos = searchFirstPos(A, n, target); // 第一次出现位置

if(firstPos == -1)

return 0;

int lastPos = searchLastPos(A, n, target); // 最后一次出现位置

return lastPos-firstPos+1; // 出现次数

}

此题描述或者改为求目标值在数组中的索引范围。

7. 给定一个有序（非降序）数组A，若target在数组中出现，返回位置，若不存在，返回它应该插入的位置

如 [1,3,5,6], 5 → 2

[1,3,5,6], 2 → 1

[1,3,5,6], 7 → 4

[1,3,5,6], 0 → 0

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int searchInsert(int A[], int n, int target) {

// 如果比最大值还大，那插入位置就是位置n

if(A[n-1] < target)

return n;

int low = 0, high = n-1;

while(low < high)

{

int mid = low+((high-low)>>1);

if(A[mid] >= target)

high = mid;

else // A[mid] < target

low = mid+1;

}

/*

循环过程中，当low大于0时，A[low-1]是小于target的，因为A[mid] < target时，

low=mid+1；当high小于n-1时，A[high]是大于等于target的，因为A[mid] >= target时，

high = mid；循环结束时，low 等于 high，所以，如果A[low](A[high])等于target，

那么low(high)就是target出现的位置，否则low就是target在数组中应该插入的位置。

*/

return high;

}

8. 给定一个有序（非降序）数组A，可含有重复元素，求绝对值最小的元素的位置

找第一个大于等于0的位置，然后和前一个元素的绝对值比较，返回绝对值较小的元素的位置。请参考实现代码与注释

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int searchMinAbs(int A[], int n)

{

int low = 0, high = n-1;

while(low < high)

{

int mid = low+((high-low)>>1);

if(A[mid] < 0)

low = mid+1;

else // A[mid] >= 0

high = mid;

}

/* 循环结束时，如果low != n-1，A[low] >= 0，如果low>0，A[low-1] < 0 */

if(low > 0 && abs(A[low-1]) < abs(A[low]))

return low-1;

else

return low;

}

9. 给定一个有序（非降序）数组A和一个有序（非降序）数组B，可含有重复元素，求两个数组合并结果中的第k(k>=0)个数字。

这个题目出现了两个数组，有序的，不管怎样我们就应该首先考虑二分查找是否可行。若使用顺序查找，时间复杂度最低为O(k)，就是类似归并排序中的归并过程。使用用二分查找时间复杂度为O(logM+logN)。二分查找的具体实现过程请参考实现代码与注释。

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int findKthIn2SortedArrays(int A[], int m, int B[], int n, int k)

{

if(m <= 0) // 数组A中没有元素，直接在B中找第k个元素

return B[k];

if(n <= 0) // 数组B中没有元素，直接在A中找第k个元素

return A[k];

int i = (m-1)>>1; // 数组A的中间位置

int j = (n-1)>>1; // 数组B的中间位置

if(A[i] <= B[j]) // 数组A的中间元素小于等于数组B的中间元素

{

/*

设x为数组A和数组B中小于B[j]的元素数目，则i+1+j+1小于等于x，

因为A[i+1]到A[m-1]中还可能存在小于等于B[j]的元素；

如果k小于i+1+j+1，那么要查找的第k个元素肯定小于等于B[j]，

因为x大于等于i+1+j+1；既然第k个元素小于等于B[j]，那么只

需要在A[0]~A[m-1]和B[0]~B[j]中查找第k个元素即可，递归调用下去。

*/

if(k < i+1+j+1)

{

if(j > 0)

return findKthIn2SortedArrays(A, m, B, j+1, k);

else // j == 0时特殊处理，防止死循环

{

if(k == 0)

return min(A[0], B[0]);

if(k == m)

return max(A[m-1], B[0]);

return A[k] < B[0] ? A[k] : max(A[k-1], B[0]);

}

}

/*

设y为数组A和数组B中小于于等于A[i]的元素数目，则i+1+j+1大于等于y；

如果k大于等于i+1+j+1，那么要查找到第k个元素肯定大于A[i]，因为

i+1+j+1大于等于y；既然第k个元素大于A[i]，那么只需要在A[i+1]~A[m-1]

和B[0]~B[n-1]中查找第k-i-1个元素，递归调用下去。

*/

else

return findKthIn2SortedArrays(A+i+1, m-i-1, B, n, k-i-1);

}

// 如果数组A的中间元素大于数组B的中间元素，那么交换数组A和B，重新调用即可

else

return findKthIn2SortedArrays(B, n, A, m, k);

}

10. 一个有序（升序）数组，没有重复元素，在某一个位置发生了旋转后，求target在变化后的数组中出现的位置，不存在则返回-1

如

0
 1 2 4 5 6 7

可能变成

4
 5 6 7 0 1 2

我们先比较中间元素是否是目标值，如果是返回位置。如果不是，我们就应该想办法将搜索区间减少一半。因为存在旋转变化，所以我们要多做一些判断。我们知道因为只有一次旋转变化，所以中间元素两边的子数组肯定有一个是有序的，那么我们可以判断target是不是在这个有序的子数组中，从而决定是搜索这个子数组还是搜索另一个子数组。具体请参考实现代码与注释。

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int searchInRotatedArray(int A[], int n, int target)

{

int low = 0, high = n-1;

while(low <= high)

{

int mid = low+((high-low)>>1);

if(A[mid] == target)

return mid;

if(A[mid] >= A[low])

{

// low ~ mid 是升序的

if(target >= A[low] && target < A[mid])

high = mid-1;

else

low = mid+1;

}

else

{

// mid ~ high 是升序的

if(target > A[mid] && target <= A[high])

low = mid+1;

else

high = mid-1;

}

}

return -1;

}

如果这样的数组中存在重复元素，还能使用二分吗？答案是不能。请看几个例子

[1, 2, 2, 2, 2], [2, 1, 2, 2, 2], [2, 2, 1, 2, 2], [2, 2, 2, 1, 2], [2, 2, 2, 2, 1]这些都是有第一个数组旋转一次变化来的，我们不能通过二分确定是否存在元素1.

11. 一个有序（升序）数组，没有重复元素，在某一个位置发生了旋转后，求最小值所在位置

如果中间元素小于左端元素，则最小值在左半区间内（包含中间元素）；如果中间元素大于右端元素，则最小值在右半区间内（包含中间元素）。请参考实现代码与注释。

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int searchMinInRotatedArray(int A[], int n)

{

if(n == 1)

return 0;

int low = 0, high = n-1;

while(low < high-1) // 保证mid != low且mid != high

{

int mid = low+((high-low)>>1);

if(A[mid] < A[low]) // 最小值在low~mid

high = mid;

else // A[mid] > A[low], // 最小值在mid和high之间

low = mid;

}

return A[low] < A[low+1] ? low : low+1;

}

12. 一个有序（升序）数组，没有重复元素，在某一个位置发生了旋转后，求第k(k > 0)小元素的位置

我们可以利用上一题的解答，求出最小值所在位置后，便可以求出第k小元素。请参考实现代码与注释

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int searchKthInRotatedArray(int A[], int n, int k)

{

int posMin = searchMinInRotatedArray(A, n);

return (posMin+k-1)%n;

}