[置顶] 【板子】gcd、exgcd、乘法逆元、快速幂、快速乘、筛素数、快速求逆元、组合数

1.gcd

int gcd(int a,int b){
return b?gcd(b,a%b):a;
}

2.扩展gcd )extend great common divisor

ll exgcd(ll l,ll r,ll &x,ll &y)
{
if(r==0){x=1;y=0;return l;}
else
{
ll d=exgcd(r,l%r,y,x);
y-=l/r*x;
return d;
}
}

3.求a关于m的乘法逆元

ll mod_inverse(ll a,ll m){
ll x,y;
if(exgcd(a,m,x,y)==1)//ax+my=1
return (x%m+m)%m;
return -1;//不存在
}

4.快速幂quick power

ll qpow(ll a,ll b,ll m){
ll ans=1;
ll k=a;
while(b){
if(b&1)ans=ans*k%m;
k=k*k%m;
b>>=1;
}
return ans;
}

5.快速乘,直接乘会爆ll时需要它，也叫二分乘法。

ll qmul(ll a,ll b,ll m){
ll ans=0;
ll k=a;
ll f=1;//f是用来存负号的
if(k<0){f=-1;k=-k;}
if(b<0){f*=-1;b=-b;}
while(b){
if(b&1)
ans=(ans+k)%m;
k=(k+k)%m;
b>>=1;
}
return ans*f;
}

6.中国剩余定理CRT (x=ai mod mi)

ll china(ll n, ll *a,ll *m) {
ll M=1,y,x=0,d;
for(ll i = 1; i <= n; i++) M *= m[i];
for(ll i = 1; i <= n; i++) {
ll w = M /m[i];
exgcd(m[i], w, d, y);//m[i]*d+w*y=1
x = (x + y*w*a[i]) % M;
}
return (x+M)%M;
}

7.筛素数，全局：int cnt,prime
,p
;

void isprime()
{
cnt = 0;
memset(prime,true,sizeof(prime));
for(int i=2; i<N; i++)
{
if(prime[i])
{
p[cnt++] = i;
for(int j=i+i; j<N; j+=i)
prime[j] = false;
}
}
}

8.快速计算逆元

void inverse(){
inv[1] = 1;
for(int i=2;i<N;i++)
{
if(i >= M) break;
inv[i] = (M-M/i)*inv[M%i]%M;
}
}

9.组合数取模

ll fac
={1,1},inv
={1,1},f
={1,1};
ll C(ll a,ll b){
if(b>a)return 0;
return fac[a]*inv[b]%M*inv[a-b]%M;
}
void init(){//快速计算阶乘的逆元
for(int i=2;i<N;i++){
fac[i]=fac[i-1]*i%M;
f[i]=(M-M/i)*f[M%i]%M;
inv[i]=inv[i-1]*f[i]%M;
}
}

ll C(ll n,ll m){
if(m>n)return 0;
ll ans=1;
for(int i=1;i<=m;i++)
ans=ans*(n-i+1)%M*qpow(i,M-2,M)%M;
return ans;
}

10.Lucas大组合取模

#define N 100005
#define M 100007
ll n,m,fac
={1};
ll C(ll n,ll m){
if(m>n)return 0;
return fac
*qpow(fac[m],M-2,M)%M*qpow(fac[n-m],M-2,M)%M;//费马小定理求逆元
}
ll lucas(ll n,ll m){
if(!m)return 1;
return(C(n%M,m%M)*lucas(n/M,m/M))%M;
}
void init(){
for(int i=1;i<=M;i++)
fac[i]=fac[i-1]*i%M;
}