扩展欧几里得、求乘法逆元及其应用、中国剩余定理（互质版和非互质版）、欧拉函数、快速判素数模板

互质版：

#include <iostream>  
#include <cstdio>  
#include <cstring>  
using namespace std;  
typedef __int64 int64;  
int64 a[15],b[15];  
  
int64 Extend_Euclid(int64 a, int64 b, int64&x, int64& y)  
{  
    if(b==0)  
    {  
        x=1,y=0;  
        return a;  
    }  
    int64 d = Extend_Euclid(b,a%b,x,y);  
    int64 t = x;  
    x = y;  
    y = t - a/b*y;  
    return d;  
}  
//求解模线性方程组x=ai(mod ni)  
int64 China_Reminder(int len, int64* a, int64* n)  
{  
    int i;  
    int64 N = 1;  
    int64 result = 0;  
    for(i = 0; i < len; i++)  
        N = N*n[i];  
    for(i = 0; i < len; i++)  
    {  
        int64 m = N/n[i];  
        int64 x,y;  
        Extend_Euclid(m,n[i],x,y);  
        x = (x%n[i]+n[i])%n[i];  
        result = (result + m*a[i]*x%N)%N;  
    }  
    return result;  
}  
  
int main()  
{  
    int n;  
    while(scanf("%d",&n)!=EOF)  
    {  
        for(int i = 0; i < n; i++)  
            scanf("%I64d %I64d",&a[i],&b[i]);  
        printf("%I64d\n",China_Reminder(n,b,a));  
    }  
    return 0;  
}

非互质版：

/** 
中国剩余定理（不互质） 
*/  
#include <iostream>  
#include <cstdio>  
#include <cstring>  
using namespace std;  
typedef __int64 int64;  
int64 Mod;  
  
int64 gcd(int64 a, int64 b)  
{  
    if(b==0)  
        return a;  
    return gcd(b,a%b);  
}  
  
int64 Extend_Euclid(int64 a, int64 b, int64&x, int64& y)  
{  
    if(b==0)  
    {  
        x=1,y=0;  
        return a;  
    }  
    int64 d = Extend_Euclid(b,a%b,x,y);  
    int64 t = x;  
    x = y;  
    y = t - a/b*y;  
    return d;  
}  
  
//a在模n乘法下的逆元，没有则返回-1  
int64 inv(int64 a, int64 n)  
{  
    int64 x,y;  
    int64 t = Extend_Euclid(a,n,x,y);  
    if(t != 1)  
        return -1;  
    return (x%n+n)%n;  
}  
  
//将两个方程合并为一个  
bool merge(int64 a1, int64 n1, int64 a2, int64 n2, int64& a3, int64& n3)  
{  
    int64 d = gcd(n1,n2);  
    int64 c = a2-a1;  
    if(c%d)  
        return false;  
    c = (c%n2+n2)%n2;  
    c /= d;  
    n1 /= d;  
    n2 /= d;  
    c *= inv(n1,n2);  
    c %= n2;  
    c *= n1*d;  
    c += a1;  
    n3 = n1*n2*d;  
    a3 = (c%n3+n3)%n3;  
    return true;  
}  
  
//求模线性方程组x=ai(mod ni),ni可以不互质  
int64 China_Reminder2(int len, int64* a, int64* n)  
{  
    int64 a1=a[0],n1=n[0];  
    int64 a2,n2;  
    for(int i = 1; i < len; i++)  
    {  
        int64 aa,nn;  
        a2 = a[i],n2=n[i];  
        if(!merge(a1,n1,a2,n2,aa,nn))  
            return -1;  
        a1 = aa;  
        n1 = nn;  
    }  
    Mod = n1;  
    return (a1%n1+n1)%n1;  
}  
int64 a[1000],b[1000];  
int main()  
{  
    int i;  
    int k;  
    while(scanf("%d",&k)!=EOF)  
    {  
        for(i = 0; i < k; i++)  
            scanf("%I64d %I64d",&a[i],&b[i]);  
        printf("%I64d\n",China_Reminder2(k,b,a));  
    }  
    return 0;  
}

/*接下来介绍乘法逆元：

若m≥1，gcd（a，m）＝1，则存在c使得 ca≡1（mod m） 我们把c称为是a对模m的逆，记为 a－1（mod m）或a－1 可以用扩展欧几里德算法求a－1

应用： 求(a/b)%c时，若a为大整数时可以写成 ((a%c)*((b－1)%c))%c,注意：这里(b－1)是b%c的乘法逆元，不是b减 1！！！

还可以使用扩展欧几里德算法求乘法逆元：*/

//a在模n乘法下的逆元，没有则返回-1(a * b % n == 1,已知a,n,求b就是求a模n的乘法逆元)

乘法逆元：

int inv(int a, int n)///a在模n乘法下的逆元,没有则返回-1(a * b % n == 1,已知a,n,求b就是乘法逆元)
{  
    int x, y;  
    int t = Ext_gcd(a, n, x, y);///扩展欧几里得算法
    if(t != 1)  
        return -1;  
    return (x % n + n) % n;  
}

欧拉函数:(E(k) = [1,n-1]中与n互质的整数个数

递推求欧拉函数：

void Euler()
{
    int i, j;
    for (i = 1; i <= Max; i++)
        num[i] = i;
    for (i = 2; i <= Max; i += 2)
        num[i] /= 2;
    for (i = 3; i <= Max; i += 2)
    {
        if(num[i] == i)
        {
            for (j = i; j <= Max; j += i)
                num[j] = num[j] / i * (i - 1);
        }
    }
}

单独求欧拉函数：

int Euler(int x)
{
    int res = x;
    for(int i = 2; i < (int)sqrt(x * 1.0) + 1; i++)
    {
        if(x % i == 0)
        {
            res = res / i * (i - 1);
            while (x % i == 0)/// 保证i一定是素数
                x /= i;
        }
    }
    if(x > 1)
        res = res / x * (x - 1);
    return res;
}

避免TLE的判素数方法模板：

先打素数表再判是否为素数：

const int N = 100005;
const int MOD = 9901;
LL n,ans;
bool prime
;
int p
;//保存素数 
int cnt;
void isprime()//素数筛选 
{
    cnt = 0;
    memset(prime,true,sizeof(prime));
    for(int i=2; i<N; i++)
    {
        if(prime[i])
        {
            p[cnt++] = i;
            for(int j=i+i; j<N; j+=i)
                prime[j] = false;
        }
    }
}
bool Judge(LL A)//判断是否为素数，是素数则返回true 
{
    for(int i=0; p[i]*p[i] <= A; i++)
    {
        if(A % p[i] == 0)
        {
            return false;
        }
    }
    return true;
}