HDU 5446——Unknown Treasure——————【CRT+lucas+exgcd+快速乘+递推求逆元】
2015-09-15 20:33
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Each test case starts with three integers n,m,k(1≤m≤n≤1018,1≤k≤10) on a line where k is the number of primes. Following on the next line are kdifferent primes p1,...,pk. It is guaranteed that M=p1⋅p2⋅⋅⋅pk≤1018 and pi≤105 for every i∈{1,...,k}.
[align=left]Output[/align]
For each test case output the correct combination on a line.
[align=left]Sample Input[/align]
1
9 5 2
3 5
[align=left]Sample Output[/align]
6
[align=left]Source[/align]
2015 ACM/ICPC Asia Regional Changchun Online
题目大意:让求C(n,m)%(∏pi) 这个式子的值。
中国剩余定理:
解题思路:首先用lucas定理将求C(a,b)%p转化成求解∏C(bi,ai),这样,我们可以得到c[i]数组。然后用中国剩余定理来求x0的值,即为答案。在求解的过程中需要用到扩展欧几里得来求解Mi的逆元,由于Mi比较大,所以在乘积的时候会爆数据范围,所以改成快速乘取模的方式代替直接乘积。
[align=left]Output[/align]
For each test case output the correct combination on a line.
[align=left]Sample Input[/align]
1
9 5 2
3 5
[align=left]Sample Output[/align]
6
[align=left]Source[/align]
2015 ACM/ICPC Asia Regional Changchun Online
题目大意:让求C(n,m)%(∏pi) 这个式子的值。
中国剩余定理:
解题思路:首先用lucas定理将求C(a,b)%p转化成求解∏C(bi,ai),这样,我们可以得到c[i]数组。然后用中国剩余定理来求x0的值,即为答案。在求解的过程中需要用到扩展欧几里得来求解Mi的逆元,由于Mi比较大,所以在乘积的时候会爆数据范围,所以改成快速乘取模的方式代替直接乘积。
#include<bits/stdc++.h> using namespace std; typedef long long INT; const int maxp=1e5+200; INT p[15],c[15]; INT fac[maxp],inv[maxp]; INT powmod(INT a,INT n,INT mod){//快速幂取模 INT ret=1; while(n){ if(n&1){ ret=ret*a%mod; } n>>=1; a = a*a%mod; } return ret; } INT mulmod(INT a,INT b,INT mod){//快速乘取模 a = (a%mod + mod) % mod; //用扩展欧几里得求出的值可能为负值 b = (b%mod + mod) % mod; //用扩展欧几里得求出的值可能为负值 INT ret=0; while(b){ if(b&1){ ret = (ret+a)%mod; } b >>= 1; a = (a<<1) % mod; } return ret; } void init(INT n){ //递推出来阶乘和逆元数组 fac[0]=1; for(int i=1;i<n;i++){ fac[i]=fac[i-1]*i % n; } inv[n-1]=powmod(fac[n-1],n-2,n); for(int i=n-2;i>=0;i--){ inv[i] = inv[i+1] * (i+1) % n; //fac *inv[fac ]≡1%p ==> fac[n-1]*(n*inv[fac ])≡1%p } } INT cm(INT n,INT m,INT mod){ //用逆元求组合数取模 if(n<0||m<0||m>n){ return 0; } return fac *inv[n-m]%mod*inv[m]%mod; } INT lucas(INT n,INT m,INT mod){//lucas递归求P进制时的c if(m==0){ return 1; } return lucas(n/mod,m/mod,mod) * cm(n%mod,m%mod,mod) % mod; } INT exgcd(INT a,INT b,INT &x,INT &y){ //求b关于模a的逆元。放在y中 if(b==0) { x = 1; y = 0; return a; } INT d = exgcd(b, a%b , y, x); y -= x * (a / b); return d; } void CRT(INT k){//中国剩余定理求解一元线性同余方程组 INT M=1,x,y; INT ans=0; for(int i=1;i<=k;i++){ M *= p[i]; } for(int i=1;i<=k;i++){ INT Mi=M/p[i]; exgcd(p[i],Mi,x,y); ans = (ans+mulmod(mulmod(y,Mi,M),c[i],M))%M ; } printf("%I64d\n",ans); } int main(){ INT n,m,k; int t; scanf("%d",&t); while(t--){ scanf("%I64d%I64d%I64d",&n,&m,&k); for(int i=1;i<=k;i++){ scanf("%I64d",&p[i]); init(p[i]); c[i] = lucas(n,m,p[i]); } CRT(k); } return 0; }
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