Code Festival 2017 qualA E-Modern Painting

Description

给定一个n∗m的网格。一些人站在网格的边界上。

一个人可以占据他面前的一行（列），过程是一直往前染色（每个人的颜色都不一样），直到下一个格子染上了颜色或者到达了边界。

显然不同顺序会有不同的最终状态。

求最终状态的方案数。

n,m≤105

Solution

好难啊，一点都不会做QAQ。

可以先假设是竖直方向的人先占据格子。（水平情况一样计算）

因为若有L，R已经先占据了格子，那么(L,R)的格子也一定是会被竖直方向的人占领。

那么必定是一个区间[L,R]中的人一起先占据了一些格子。

考虑计算这种情况下的答案，答案就是下面三种数值的乘积：

考虑[1,L−1]的网格，按不同顺序所得到的答案。

考虑[R+1,m]的网格，按不同顺序所得到的答案。

考虑[L,R]的网格中，位置i有上下两个人可以选择占据。其贡献为2k。

现在只要计算出第一个值（第二个值方法类似）。

设面向右的人有X个，向下的Y个，向上的Z个。

其答案的形式一定是这样的。



把它下半部分的翻转一下就得到了一个相当于从(0,0)到(Y+Z,X)的路径方案数的东西（好大啊）。

因为必须要经过翻转的那一条边，所以贡献就是(X+Y+ZX)−(X+Y+Z−1X)=(X+Y+Z−1X−1)

然后存一下后缀前缀之类的搞一搞就好啦。

复杂度O(n+m)

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int N = 301010;
const int MOD = 998244353;
const int INV = (MOD + 1) >> 1;
typedef long long ll;

char S
;
int fac[N << 2], inv[N << 2];
int v
[2], h
[2];
int pre
, suf
, p2
;
int n, m, lim, ans;

inline void Mod(int &x) {
while (x >= MOD) x -= MOD;
}
inline int Pow(int a, int b) {
int c = 1;
while (b) {
if (b & 1) c = (ll)c * a % MOD;
b >>= 1; a = (ll)a * a % MOD;
}
return c;
}
inline int Inv(int x) {
return Pow(x, MOD - 2);
}
inline int C(int n, int m) {
return (ll)fac
* inv[m] % MOD * inv[n - m] % MOD;
}
inline int Calc(int X, int Y, int Z) {
if (X == 0) return (Y + Z) ? 0: 1;
return C(X + Y + Z - 1, X - 1);
}
inline void Solve(void) {
static int x, y, z;
memset(p2, 0, sizeof p2);
memset(suf, 0, sizeof suf);
x = y = z = 0;
for (int i = 1; i <= n; i++) x += h[i][1];
p2[0] = 1;
for (int i = 1; i <= m; i++)
Mod(p2[i] = p2[i - 1] << (v[i][0] & v[i][1]));
for (int i = m; i; i--) {
if (!v[i][0] && !v[i][1]) {
suf[i] = suf[i + 1];
continue;
}
Mod(suf[i] = suf[i + 1] + (ll)Calc(x, y, z) * p2[i] % MOD);
y += v[i][0]; z += v[i][1];
}
x = y = z = 0;
for (int i = 1; i <= n; i++) x += h[i][0];
for (int i = 1; i <= m; i++) {
if (!v[i][0] && !v[i][1]) continue;
pre[i] = (ll)Calc(x, y, z) * Inv(p2[i - 1]) % MOD;
Mod(ans += (ll)pre[i] * suf[i] % MOD);
y += v[i][0]; z += v[i][1];
}
}

int main(void) {
freopen("1.in", "r", stdin);
scanf("%d%d\n", &n, &m);
lim = max(n, m) << 2;
inv[1] = 1;
for (int i = 2; i <= lim; i++)
inv[i] = (ll)(MOD - MOD / i) * inv[MOD % i] % MOD;
fac[0] = inv[0] = 1;
for (int i = 1; i <= lim; i++) {
fac[i] = (ll)fac[i - 1] * i % MOD;
inv[i] = (ll)inv[i - 1] * inv[i] % MOD;
}
scanf("%s\n", S);
for (int i = 1; i <= n; i++) h[i][0] = S[i - 1] - '0';
scanf("%s\n", S);
for (int i = 1; i <= n; i++) h[i][1] = S[i - 1] - '0';
scanf("%s\n", S);
for (int i = 1; i <= m; i++) v[i][0] = S[i - 1] - '0';
scanf("%s\n", S);
for (int i = 1; i <= m; i++) v[i][1] = S[i - 1] - '0';
Solve(); lim >>= 2;
for (int i = 1; i <= lim; i++) {
swap(h[i][0], v[i][0]);
swap(h[i][1], v[i][1]);
}
swap(n, m); Solve();
cout << max(ans, 1) << endl;
}