JZOJ5384. 【NOIP2017提高A组模拟9.23】四维世界
2017-09-25 21:16
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Description
众所周知,我们常感受的世界是三维的。Polycarp突然对四维空间产生了兴趣,他想对四维空间进行一些研究。但是在此之前,他必须先对三维世界了解透彻。
于是Polycarp决定从零维,也就是一个点,开始他的研究。我们把一个点放在三维空间中,Polycarp把这个点视为原点,并确定了三个正方向。他可以把这个点往三个方向之一拉伸一个单位,那么这个点就变为了一维的一条长度为一的线段。然后如果他把这条线段往另一方向拉伸一个单位,那么这条线就变为了二维的一个矩形。如果继续拉伸可能就会进入三维世界,也就是变为直四棱柱。
Polycarp认为矩形、线段甚至点都可以看作某一维或某几维为丰的直四棱柱。
现在Polycarp想演示把一个点一步一步拉伸为边长为n的正六面体的过程,但他缺失了m种形态的直四棱柱模具(Polycarp拥有其他的所有直四棱柱模具),他想知道共有多少种演示方案。
Polycarp的演示过程需要每拉伸一个单位时对应形态的直四棱柱。
因为方案数很大,所以输出答案对10^9+7的结果。
Input
从文件poly.in中读入数据。第一行两个整数n;m,分别表示直四棱柱的边长和他缺失的模具数量。
接下来m行,第i行三个整数x; y; z,表示第i个缺失模具的长、宽、高。
Output
输出到文件poly.out中一个整数,即答案。
Sample Input
2 31 0 1
1 1 1
0 2 0
Sample Output
36题解
题目可以转化为:在一个三维的空间里面,从(0,0,0)走到(n,n,n),且不经过一些特定点的方案数。先考虑没有任何限制的情况:方案数就3*n!。
如果有限制,那我们就减去经过这个点的方案数,即(0,0,0)走到(xi,yi,zi) *(xi,yi,zi)走到(n,n,n)。
这样就能够推出一个dp。
code
#include<queue> #include<cstdio> #include<iostream> #include<algorithm> #include <cstring> #include <string.h> #include <cmath> #include <math.h> #define ll long long #define N 100003 #define db double #define P putchar #define G getchar #define mo 1000000007 using namespace std; char ch; void read(int &n) { n=0; ch=G(); while((ch<'0' || ch>'9') && ch!='-')ch=G(); ll w=1; if(ch=='-')w=-1,ch=G(); while('0'<=ch && ch<='9')n=(n<<3)+(n<<1)+ch-'0',ch=G(); n*=w; } int max(int a,int b){return a>b?a:b;} int min(int a,int b){return a<b?a:b;} void write(ll x) { if(x>9) write(x/10); P(x%10+'0'); } struct node { int x,y,z; }a ; int n,m; ll jc[N*3],ny[N*3],f ; ll ksm(ll x,int y) { ll s=1; while(y) { if(y&1)s=s*x%mo; x=x*x%mo; y>>=1; } return s; } bool cmp(node a,node b) { return a.x<b.x || (a.x==b.x && a.y<b.y) || (a.x==b.x && a.y==b.y && a.z<b.z); } ll get(int x,int y,int z) { return jc[x+y+z]*ny[x]%mo*ny[y]%mo*ny[z]%mo; } int main() { freopen("poly.in","r",stdin); freopen("poly.out","w",stdout); read(n);read(m); jc[0]=ny[0]=1; for(int i=1;i<=n*3;i++) jc[i]=jc[i-1]*i%mo,ny[i]=ksm(jc[i],mo-2); for(int i=1;i<=m;i++) read(a[i].x),read(a[i].y),read(a[i].z); m++; a[m].x=a[m].y=a[m].z=n; sort(a+1,a+1+m,cmp); for(int i=1;i<=m;i++) { f[i]=get(a[i].x,a[i].y,a[i].z); for(int j=1;j<i;j++) if(a[j].x<=a[i].x && a[j].y<=a[i].y && a[j].z<=a[i].z) f[i]=(f[i]-f[j]*get(a[i].x-a[j].x,a[i].y-a[j].y,a[i].z-a[j].z)%mo+mo)%mo; } write(f[m]); }
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