JZOJ 5371. 【NOIP2017提高A组模拟9.17】组合数问题
2017-09-18 22:06
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Description
定义"组合数"S(n,m)代表将n 个不同的元素拆分成m 个非空集合的方案数.举个例子,将{1,2,3}拆分成2 个集合有({1},{2,3}),({2},{1,3}),({3},{1,2})三种拆分方法.小猫想知道,如果给定n,m 和k,对于所有的0<=i<=n,0<=j<=min(i,m),有多少对(i,j),满足S(i,j)是k 的倍数.注意,0 也是k 的倍数,S(0,0)=1,对于i>=1,S(i,0)=0.Input
从problem.in 种读入数据第一行有两个整数t,k,t 代表该测试点总共有多少组测试数据.接下来t 行,每行两个整数n,m.Output
输出到文件problem.out 中t 行,每行一个整数代表所有的0<=i<=n,0<=j<=min(i,m),有多少对(i,j),满足S(i,j)是k 的倍数.Sample Input
输入1:
1 23 3
输入2:2 54 56 7
Sample Output
输出1:
3样例说明1:S(1,0),S(2,0),S(3,0)均是2 的倍数
输出2:
412
Data Constraint
对于20%的数据,满足n,m<=7,k<=5对于60%的数据,满足n,m<=100,k<=10
对于每个子任务,都有50%的数据满足t=1
对于100%的数据,满足1<=n<=2000,1<=m<=2000,2<=k<=21,1<=t<=10000
Solution
首先,我们要先算出“组合数”的 S(n,m) ,设 F[i][j] 表示:要放了前 i 个数、已经放入 j 个集合的方案数。
那么这第 i 个数显然可以:①新开一个集合;②放入之前那 j 个集合中。
于是递推转移如下: F[i][j]=F[i−1][j]∗j+F[i−1][j−1]
为了统计出这个值是否是 k 的倍数,于是我们将每个 F[i][j] 都模上 k ,若等于零则说明是:F[i][j]=(F[i−1][j]∗j+F[i−1][j−1]) mod k
所以统计出 F 数组的前缀和,就可以 O(1) 回答询问了。
Code
#include<cstdio> using namespace std; const int N=2001; int f ,g ; inline int read() { int X=0,w=1; char ch=0; while(ch<'0' || ch>'9') {if(ch=='-') w=-1;ch=getchar();} while(ch>='0' && ch<='9') X=(X<<3)+(X<<1)+ch-'0',ch=getchar(); return X*w; } int main() { int t=read(),k=read(); for(int i=f[0][0]=1;i<N;i++) for(int j=1;j<=i;j++) f[i][j]=(f[i-1][j]*j+f[i-1][j-1])%k; for(int i=g[0][0]=1;i<N;i++) for(int j=0,sum=0;j<N;j++) { if(j<=i) sum+=!f[i][j]; g[i][j]=g[i-1][j]+sum; } while(t--) { int x=read(),y=read(); printf("%d\n",g[x][y]); } return 0; }
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