线性代数的本质(Essense Of Linear Algebra)[4]

特征值和特征向量

特征向量和特征值对于很多人来说都不是很理解。在这里可以从几何的角度进行更加直观的理解。

首选对于矩阵向量乘积，有两种情况：大多数情况下是向量经过线性变换后离开了其所张成的空间（向量所在直线所有向量的集合），但是一些特殊的向量留在他们张成的空间中。意味着矩阵对它的作用仅仅是拉伸或者压缩，相当于一个标量。

这些特殊的向量称作特征向量，伸缩变换的比例称作特征值。

根据上述描述可以得到等式Av⃗ =λv⃗ ，

v⃗ 是特征向量， λ是对应的特征值。因此矩阵向量的乘积等于特征向量乘上某个数。

那么在计算的时候可以推导出(A−λI)v⃗ =0⃗ 。

如果v⃗ 是零向量的话，这个等式恒成立，如果不是零向量，那么就说明有一个非零向量经过线性变换变成了零向量，有前边第五章和第六章的推论可以得出线性变换是空间的维数降低了，所以(A−λI)的行列式为0。

可以通过解det(A−λI)=0来求得λ再进一步得到特征向量v⃗

特征基

在有了特征向量和特征值的概念之后，如果基向量恰好是特征向量的话，对应的变换矩阵将会是一个对角矩阵，对角元是他们所属的特征值，每一列都可以看做是一个基向量。

对角矩阵有一个有点就是和自己相乘的结果更容易计算。如下图所示的式子，最后等于[3100002100][xy]如果不是对角矩阵的话计算量将会非常大。

矩阵的对角化

如果变换有足够的特征向量来张成初始矩阵的列向量所张成的空间的话，那么就可以变换坐标系，使这些特征向量就是基向量。在上一节已经讲到可以通过A−1MA这种形式将相同的线性变换转移到另一个视角，对角化就是转移到特征基的视角。矩阵A是特征向量组成的矩阵。

之前早已忘记为什么要进行矩阵对角化、如何矩阵对角化还有矩阵对角化的条件，在这里恍然大悟。

抽象的向量空间

这一节首先再次讨论什么是向量 ？

是一个有方向的箭头，亦或是有序的列表？还是这两种观点是更深层次抽象事物的体现？

可以先讨论一个新的事物——函数，某种意义上函数也是一种向量，例如两个函数f和g，可以将两个函数相加可以得到函数(f+g)，就是(f+g)(x)=f(x)+g(x),这和对应坐标的相加类似。同时对于函数与另一个数相乘(2f)(x)=2f(x)，这个对应坐标的数乘类似。

因此以空间箭头为背景考虑的线性代数的概念和解决问题的手段可以应用于函数。例如对函数的线性变换

ddx(19x3−x)=13x2−1

通过抽象可以得出更好的结论，比如线性的严格定义要满足叠加性和齐次性，不仅适用于箭头也适用于函数。这里面的L()代表某种变换。

Additivity:L(v⃗ +w⃗ )=L(v⃗ )+L(w⃗ )Scaling:L(cv⃗ )=cL(v⃗ )

这两个性质的一个重要推论是一个线性变换可以通过它对基向量的作用完全描述，因为任意向量都可以描述为基向量的线性组合，所以一个向量变换后的结果可以等于变换后的基向量进行线性组合的结果。这对函数同样是成立的，例如求导具有可加性和齐次性。

矩阵描述求导

对于一个函数，它的系数用来当做向量的内容，通过对如下的矩阵相乘来求导。



下图所示为一个例子。



由上边的例子可以知道，其实数学中有很多类似向量的事物，只要处理的对象集有数乘和相加的概念。线性代数中所有关于向量，线性变换和其它的概念都适用它。

这些类似向量的集合构成了向量空间。



上边的八项规则成为公理。是建立一系列向量加法和数乘必须遵守的规则。因此如果要让所有建立好的理论和概念适用于一个向量空间，那么它必须满足上述的公理。

回到向量是什么这个问题，向量的形式并不重要，箭头，一组数，函数等都无所谓，只要向量相加和数乘遵守上述规则就行了。

总结

这个系列的视频从具体背景出发，非常形象的讲解了线性代数的一些知识，最后又进行了抽象，可以让这些概念得到更加广泛的应用。这也是教科书和课堂上更倾向于抽象描述的原因。

整个视频我看了两遍，对线性代数背后的几何意义有了更加深入的了解，并且从这里出发可以很自然的想到线代知识可以用到的一些地方。

从直观走向抽象，或许是一种更好的学习方式。