线性代数的本质(Essense Of Linear Algebra)[1]

最近学习了B站上一个关于线性代数的视频Essense Of Linear Algebra，主要从几何方面去讲解，非常形象和容易理解。之前上线性代数的时候，很多概念都是只会去计算，并不明白背后深刻的意义，以及可以用来做什么，通过学习这个视频，我对线性代数有了一个更加深入的认识，在此进行总结来加深自己的理解。

介绍

在初次学习线性代数的过程中，我们学习的基本上是如何计算，包括计算矩阵乘法、行列式、叉积、矩阵的秩、特征值和特征向量等等。但是很少理解矩阵乘法为什么是这样定义的，叉积为什么和行列式有关系，特征值和特征向量又有什么意义。这个系列的视频旨在帮助人们理解几何水平上的线性代数。通过了解线性代数知识中的直观理解，对以后解决实际的问题具有重要的意义。这段视频将线性代数中的几何直觉 动画化，从向量的基础知识，一直到线性代数本质的核心主题。

什么是向量

向量可以从物理学、计算机科学和数学三个角度去理解。在物理学中，向量是一个有着大小和方向的箭头，可以 随意移动；在计算机科学中，向量是有序的数字列表；而在数学家眼里，是上述两种观点的集合，向量可以是任何东西，只要两个向量相加以及数字之间相乘有意义就可以，可以用如下两种方式去描述。

1.将向量描述成空间中的一个箭头，但是通常将坐标系中的原点作为向量的起点。

2.然后对于每一个向量，可以用向量的坐标去理解。如图中黄色的向量可以用如下矩阵表示

[2−3](1)



关于向量相加，就是平移第二个向量，是它的起点与第一个向量的终点相结合。从原点到第二个向量的终点得到的新向量就是他们的和。

关于向量数乘，就是把原向量变为原来的多少倍。

把向量当做一个箭头或者当做一个有序的列表，可以分别和漂亮的数值表示和几何意义相对应，但是线性代数更多体现的是在这些观点中相互转化。线性代数为数据分析提供了一条将大量数据列表化、可视化的渠道。同时也提供了一种语言，可以通过计算机处理数字，并操纵空间。

线性组合，张成的向量和基

在xy坐标系中，有两个特殊的向量，坐标分别是（1,0）和（0,1），被称为i-hat和j-hat，有了上述两个向量之后，向量[3−2]可以看成是i-hat和j-hat经过缩放后的和。



i和j有两个特殊的名字，他们是xy坐标系的基向量。对于不同的集，一个向量会有不同的描述，也就是说每当我们用数字描述一个向量时，都依赖于我们正在使用的基。而两个数乘向量的和称作这两个向量的线性组合。

这里需要提示线性代数紧紧围绕向量加法和数乘。

这里引入新的概念，对于给定的向量经过线性组合可以表示的向量的集合，叫做向量张成的空间（span）。

如果一组向量中至少有一个是多余的，没有对张成的空间做任何贡献，也就是可以移除一个向量而张成相同的空间，那么这些向量就是线性相关的。相反如果每个向量都为张成的空间增加了一个新的维度，那么这些向量就是线性无关的。