【线性代数公开课MIT Linear Algebra】 第八课 Ax=b，我们的核心问题

本系列笔记为方便日后自己查阅而写，更多的是个人见解，也算一种学习的复习与总结，望善始善终吧~

到这一课突然很有感触，我们到现在为止所学的东西，都是为了解决Ax=bAx=b，有感于学校的教学，舍本逐末，概念是用来合理的解释和解决问题的，不是吗？

最初的起点 Ax=bAx=b

在课上我们会看到老师求解时，将AA写为增广矩阵的形式[AM∗N|bM∗1][A_{M*N} | b_{M*1}]，为什么可以这么做？

Ax=bAx−b=0Ax=b Ax-b=0,AA为M∗NM*N，xx为N∗1N*1，b为M∗1M*1

可以写为

[Ab][x−1]
\begin{bmatrix}
A & b\\
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
x\\
-1
\end{bmatrix}


对增广矩阵消元可以比较容易的看出bb能否由AA的col vector线性组合产生(相关内容为第六课/article/3603568.html)

给定一个b，要找到所有的解有一个简便的方式，即找到一个特解（线性组合的方式）之后加上null space，何为特解？在消元的过程中，化为rref后可以很容易看出如何用pivot column组合出b，老师用的方法是化为阶梯矩阵然后无视free column的方式找出线性组合（特解），道理一样。

下面的话有些乱，可以跳过不看

实际上到这里有点领会rank的重要性，rank是pivot column的数量，其实我们有了pivot column就能描述出整个space，这个space可以包含矩阵中其他的free column，这是矩阵的共性，我们熟悉的三维空间中，我们常用的pivot column就是[1,0,0],[0,1,0],[0,0,1]也就是xyz轴，我们以此来描述整个R3R^3的space，任意一个矩阵也是可以找到自己的pivot column，类似于找到可以组成整个space的几个关键的向量

关于秩rank的讨论

祭出大杀器



第一种，最简单，pivot column可以表示整个空间，而b也肯定落在空间内，没有free column，所以必有且仅有一个解

第二种，pivot column无法可以表示整个空间，而b不一定定落在pivot column可以表示空间内，没有free column，所以当b在pivot column可以表示的空间外时，无解，反之，必有且仅有一个解

第三种，pivot column可以表示整个空间，而b也肯定落在空间内，同时有free column，所以必有且有无穷多解，由于free column的存在，可以在free column上找出无穷多解

第四种，pivot column可以表示整个空间，而b不一定定落在pivot column可以表示空间内，有free column，所以当b在pivot column可以表示的空间外时，无解，反之，必有且有无穷多解

PS：更详细的课堂笔记见另一位仁兄的笔记

http://blog.csdn.net/suqier1314520/article/details/10564149