Python实现更相减损术求解最大公约数

       先从网上摘录一段算法的描述如下：

更相减损法：也叫 更相减损术，是出自《 九章算术》的一种求最大公约数的算法，它原本是为 约分而设计的，但它适用于任何需要求最大公约数的场合。

《九章算术》是中国古代的数学专著，其中的“更相减损术”可以用来求两个数的最大公约数，即“可半者半之，不可半者，副置分母、子之数，以少减多，更相减损，求其等也。以等数约之。”

翻译成现代语言如下：

第一步：任意给定两个正整数；判断它们是否都是偶数。若是，则用2约简；若不是则执行第二步。

第二步：以较大的数减较小的数，接着把所得的差与较小的数比较，并以大数减小数。继续这个操作，直到所得的减数和差相等为止。

       看完上面的描述，我的第一反应是这个描述是不是有问题？从普适性来说的话，应该是有问题的。举例来说，如果我求解4和4的最大公约数，可半者半之之后，结果肯定错了！后面的算法也不能够进行！

       不管怎么说，先实现一下上面的算法描述：

defMaxCommDivisor(m,n):

       # even process

       while m % 2 == 0 and n % 2 == 0:

              m = m / 2

              n = n / 2

 

       # exchange order when needed

       if m < n:

              m,n = n,m

 

       # calculate the max comm divisor

       while m - n != n:

              diff = m - n

              if diff > n:

                     m = diff

              else:

                     m = n

                     n = diff

       return n

 

print(MaxCommDivisor(55,120))

print(MaxCommDivisor(55,77))

print(MaxCommDivisor(32,64))

print(MaxCommDivisor(16,128))

       不用说，上面程序执行错误百出。那么该如何更正呢？

       首先，除的2最终都应该再算回去！这样，程序修改如下：

defMaxCommDivisor(m,n):

       com_factor = 1

       if m == n:

              return n

       else:

              # process for even number

              while m % 2 == 0 and n % 2 == 0:

                     m = int(m / 2)

                     n = int(n / 2)

                     com_factor *= 2

              if m < n:

                     m,n = n,m

              diff = m - n

              while n != diff:

                     m = diff

                     if m < n:

                            m,n = n,m

                     diff = m - n

              return n * com_factor

 

print(MaxCommDivisor(55,120))

print(MaxCommDivisor(55,77))

print(MaxCommDivisor(32,64))

print(MaxCommDivisor(16,128))

       通过修改，上面程序执行结果如下;

grey@DESKTOP-3T80NPQ:/mnt/e/01_workspace/11_算法/01_TAOCP$ python max_com_divisor_gxjs.py

5

11

32

16

       虽说这段程序写出来看着有点怪怪的，但是总体的算法还是实现了。与辗转相除等算法相比，这个在循环的层级上有一定的概率会减小。特别是最后的两组测试数字对儿，这种情况下的效果要好一些。但是，总体上的算法的效率，现在我还不能够给个准确的衡量。