求最长回文子串——Manacher 算法
2017-08-17 09:26
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原文地址:http://www.61mon.com/index.php/archives/181/
(1):s="abcd", 最长回文长度为 1;
(2):s="ababa", 最长回文长度为 5;
(3):s="abccb", 最长回文长度为 4,即 bccb。
以上问题的传统思路大概是,遍历每一个字符,以该字符为中点向两边查找。其时间复杂度为 O(n2),很不高效。1975
年,一个叫 Manacher 的人发明了一个算法,Manacher 算法(中文名:马拉车算法),该算法可以把时间复杂度提升到O(n)。下面来看看马拉车算法是如何工作的。
举个例子:
$ 只是为了防止越界,下面代码会有说明),如此,s 里起初有一个偶回文
定义一个辅助数组
i 为中心的最长回文的半径,例如:
可以看出,
接下来的重点就是求解 p 数组,如下图:
设置两个变量,mx
和 id 。mx 代表以 id 为中心的最长回文的右边界,也就是
假设我们现在求
的对称点,即上图的 j 点,而
j 为中心的最长回文半径,因此我们可以利用
根据回文的性质,
(1)j 的回文串有一部分在 id 的之外,如下图:
上图中,黑线为
id 的回文,i 与 j 关于 id 对称,红线为 j 的回文。那么根据代码此时
假设右侧新增的紫色部分是
等于 d ,也就是说 id 的回文不仅仅是黑线,而是黑线 + 两条紫线,矛盾,所以假设不成立,故
(2)j 回文串全部在 id 的内部,如下图:
根据代码,此时
假设右侧新增的红色部分是
等于 b ,也就是说 j 的回文应该再加上 a 和 b ,矛盾,所以假设不成立,故
(3)j 回文串左端正好与 id 的回文串左端重合,见下图:
根据代码,此时
根据(1)(2)(3),很容易推出 Manacher 算法的最坏情况,即为字符串内全是相同字符的时候。在这里我们重点研究 Manacher()中的 for 语句,推算发现 for 语句内平均访问每个字符 5 次,即时间复杂度为:Tworst(n)=O(n)。
同理,我们也很容易知道最佳情况下的时间复杂度,即字符串内字符各不相同的时候。推算得平均访问每个字符 4 次,即时间复杂度为:Tbest(n)=O(n)。
综上,Manacher 算法的时间复杂度为 O(n)。
一:背景
给定一个字符串,求出其最长回文子串。例如:(1):s="abcd", 最长回文长度为 1;
(2):s="ababa", 最长回文长度为 5;
(3):s="abccb", 最长回文长度为 4,即 bccb。
以上问题的传统思路大概是,遍历每一个字符,以该字符为中点向两边查找。其时间复杂度为 O(n2),很不高效。1975
年,一个叫 Manacher 的人发明了一个算法,Manacher 算法(中文名:马拉车算法),该算法可以把时间复杂度提升到O(n)。下面来看看马拉车算法是如何工作的。
二:算法过程分析
由于回文分为偶回文(比如 bccb)和奇回文(比如 bcacb),而在处理奇偶问题上会比较繁琐,所以这里我们使用一个技巧,具体做法是,在字符串首尾,及字符间各插入一个字符(前提这个字符未出现在串里)。举个例子:
s="abbahopxpo",转换为
s_new="$#a#b#b#a#h#o#p#x#p#o#"(这里的字符
$ 只是为了防止越界,下面代码会有说明),如此,s 里起初有一个偶回文
abba和一个奇回文
opxpo,被转换为
#a#b#b#a#和
#o#p#x#p#o#,长度都转换成了奇数。
定义一个辅助数组
int p[],其中
p[i]表示以
i 为中心的最长回文的半径,例如:
i | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
s_new[i] | $ | # | a | # | b | # | b | # | a | # | h | # | o | # | p | # | x | # | p | # |
p[i] | 1 | 2 | 1 | 2 | 5 | 2 | 1 | 2 | 1 | 2 | 1 | 2 | 1 | 2 | 1 | 4 | 1 | 2 | 1 |
p[i] - 1正好是原字符串中最长回文串的长度。
接下来的重点就是求解 p 数组,如下图:
设置两个变量,mx
和 id 。mx 代表以 id 为中心的最长回文的右边界,也就是
mx = id + p[id]。
假设我们现在求
p[i],也就是以 i 为中心的最长回文半径,如果
i < mx,如上图,那么:
if (i < mx) p[i] = min(p[2 * id - i], mx - i);
2 * id - i为 i 关于 id
的对称点,即上图的 j 点,而
p[j]表示以
j 为中心的最长回文半径,因此我们可以利用
p[j]来加快查找。
三:代码展开目录
#include<iostream>
#include<string.h>
#include<algorithm>
using namespace std;
char s[1000];
char s_new[2000];
int p[2000];
int Init()
{
int len = strlen(s);
s_new[0] = '$';//这样就不需要进行边界判断了
s_new[1] = '#';
int j = 2;
for (int i = 0; i < len; i++)
{
s_new[j++] = s[i];
s_new[j++] = '#';
}
s_new[j] = '\0'; //别忘了哦
return j; //返回s_new的长度
}
int Manacher()
{
int len = Init(); //取得新字符串长度并完成向s_new的转换
int max_len = -1; //最长回文长度
int id;
int mx = 0;
for (int i = 1; i < len; i++)
{
if (i < mx) p[i] = min(p[2 * id - i], mx - i); //需搞清楚上面那张图含义, mx和2*id-i的含义
else
p[i] = 1;
while (s_new[i - p[i]] == s_new[i + p[i]]) //不需边界判断,因为左有'$',右有'\0'
p[i]++;
//我们每走一步i,都要和mx比较,我们希望mx尽可能的远,这样才能更有机会执行if (i < mx)这句代码,从而提高效率
if (mx < i + p[i])
{
id = i;
mx = i + p[i];
}
max_len = max(max_len, p[i] - 1);
}
return max_len;
}
int main()
{
while (printf("请输入字符串:\n"))
{
scanf("%s", s);
printf("最长回文长度为 %d\n\n", Manacher());
}
return 0;
}
四:算法复杂度分析
文章开头已经提及,Manacher 算法为线性算法,即使最差情况下其时间复杂度亦为 O(n),在进行证明之前,我们还需要更加深入地理解上述算法过程。根据回文的性质,
p[i]的值基于以下三种情况得出:
(1)j 的回文串有一部分在 id 的之外,如下图:
上图中,黑线为
id 的回文,i 与 j 关于 id 对称,红线为 j 的回文。那么根据代码此时
p[i] = mx - i,即紫线。那么
p[i]还可以更大么?答案是不可能!见下图:
假设右侧新增的紫色部分是
p[i]可以增加的部分,那么根据回文的性质,a
等于 d ,也就是说 id 的回文不仅仅是黑线,而是黑线 + 两条紫线,矛盾,所以假设不成立,故
p[i] = mx - i,不可以再增加一分。
(2)j 回文串全部在 id 的内部,如下图:
根据代码,此时
p[i] = p[j],那么
p[i]还可以更大么?答案亦是不可能!见下图:
假设右侧新增的红色部分是
p[i]可以增加的部分,那么根据回文的性质,a
等于 b ,也就是说 j 的回文应该再加上 a 和 b ,矛盾,所以假设不成立,故
p[i] = p[j],也不可以再增加一分。
(3)j 回文串左端正好与 id 的回文串左端重合,见下图:
根据代码,此时
p[i] = p[j]或
p[i] = mx - i,并且
p[i]还可以继续增加,所以需要
while (s_new[i - p[i]] == s_new[i + p[i]]) p[i]++;
根据(1)(2)(3),很容易推出 Manacher 算法的最坏情况,即为字符串内全是相同字符的时候。在这里我们重点研究 Manacher()中的 for 语句,推算发现 for 语句内平均访问每个字符 5 次,即时间复杂度为:Tworst(n)=O(n)。
同理,我们也很容易知道最佳情况下的时间复杂度,即字符串内字符各不相同的时候。推算得平均访问每个字符 4 次,即时间复杂度为:Tbest(n)=O(n)。
综上,Manacher 算法的时间复杂度为 O(n)。
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