编程之法：关于最长回文子串 | Manacher 算法详解

什么是最长回文子串呢？

比如字符串：

1 2 3 2 1 3 4 3 1 2

其回文子串可以表示如下:



最大回文子串就是 4 对应的子串，子串长度为 7

转化为奇数长度

判断回文是要考虑是奇数还是偶数的，为了消除这个考虑，我们在字符串中添加 # 号：

abba ——— #a#b#b#a#

aba ———– #a#b#a#

这样，只考虑奇数情况就可以了

理解 O(n) 的 Manacher’s Algorithm

Manacher’s Algorithm，这个算法，本质上是非常非常简单的！要搞懂它在做什么

首先明确词汇：回文半径 ，就是整个回文的一半长度

我们在求最大的回文子串的时候，就是遍历 从0到n-1的 位置的，计算出每一位作为回文中间的对应回文长度，然后取最大的那一个。

举例：

# a # b # a # a # b #

其中每一位对应的 回文半径 长度为:

1 2 1 4 1 2 5 2 1 2 1

比如 : 第二个位置对应的回文是 # a #，一半是 a #，所以长度就是 2。

Manacher算法还是遍历每一个位置，求出所有位置对应的回文半径长度，然后取最大值。这个算法中主要做的内容在于：

如何利用已知的信息，优化求 当前位置 对应的 回文半径长度

我们一步一步的来看：



黑色线段想象为整个字符串

i 为当前需要计算 回文半径 的位置

我们可以知道，i之前对应的位置，回文半径都是已知的，而 i 之后对应的位置，回文半径都是未知的，如图:



在已知区域内，每一个 位置 都对应一个 最右边，最右边是以这个位置为中间的回文子串，的最右边位置

如下图，我们假设可以看到 i 之前的两个位置 a，b 分别对应的最右边为 max_a,max_b：



我们找出前面所有位置中，max最大的那一个，此图中显示的max是前面所有点中可以到达的最大max

我们用 id 来标记这个 max 对应的 位置



然后我们来求 i 关于 id 的对称位置，用 j 标记 （这个对称位置很重要！！对称，就是 id -j = i-id）



我们现在有 i，id，max，j四个值

我们还用 p[i], p[j], p[id] 来表示这些位置对应的 回文半径长度（在程序中，我们使用一个数组来存储这些位置的 回文半径长度）

因为 j，id，都在已知部分，所以，p[j],p[id]都是已知的。

在图中，绿色范围就是 id为中间的回文子串范围，max-id就是半径

现在我们根据这些信息来求 p[i],然后更新信息就可以求 p[i+1],p[i+2] 等等…

得知这些信息会如何优化呢？

可能大家已经想到了，既然 i，j是关于id对称的，那么 p[i] 肯定和 p[j] 有联系。

当 p[j] < max - i 的时候，如下图：



因为 i，j 是对称相等关系，所以j覆盖的部分，i必然是覆盖到的，必然 p[i] 的大小，绝对不会小于 p[j]

所以计算 p[i] 时，我们可以从 p[i] = p[j] 起步

而另一种情况是 p[j] 大于 max-i，如下图（over part 既指 超出的部分）：



一目了然，在max-i的范围内，i 和 j还是关于id对称的，我们可以保证相等，但是在超出部分，没法保证相等，所以此时只能说 p[i] 不小于 max-i

我们在计算 p[i] 的时候，可以从 max-i 开始

不过，如果max都没有大于i，也就是 max 在 i 的左边，那就不用折腾了，老老实实 p[i] = 1 开始计算吧！

这就是计算 以i为中间的回文子串半径的全部步骤了

上面写了每次计算完要 更新信息，就是要更新 max 和 id，i 的 p[i] 所指的位置可能比max还要大，成为新的 max，那么 i 也就是新的 id 了

再去看核心代码是不是很好懂了？

for (i = 0; i < len; i++){
if (maxid > i){
p[i] = min(p[2*id - i], maxid - i);   // j = 2*id-i (对称是这么计算的)
}
else{
p[i] = 1;
}
while (newstr[i+p[i]] == newstr[i-p[i]])
p[i]++;
if (p[i] + i > maxid){
maxid = p[i] + i;
id = i;
}
if (ans < p[i])
ans = p[i];
}

最后推荐两个相关博客文章，我在学习过程中有借鉴：

博客1

博客2