LeetCode 5 最长回文子串 Manacher算法

题意

求最长回文子串

思路

最长回文子串，我一直没好好学一下O(n)的算法，趁刷LeetCode的机会学一下~

Manacher算法，其实还是一种dp的方法，这里大体介绍一下思路~

首先，一个小技巧，每隔一个字符插入一个’#’，如abc，变为#a#b#c#，这样就保证字符串一定奇数长，避免了奇偶处理的不同

第二，加入辅助数组p，p[i]表示以第i个字符为中心，最长的回文子串的半径。如#a#a#，p = {1,2,3,2,1}，不难想象，p[i]-1，就是以第i个字符为中心，在原字符串中的最长回文子串的长度。

第三，核心问题就是p的更新。我们从前往后更新p[i]。问题是在已知p[0~i-1]时，如何快速递推求出p[i]。在迭代更新数组的过程中，我们维护两个变量mx 和 mxid。mx表示0~i-1中的回文子串里，右边界最远的位置，mxid则是该回文子串的中心位置。

根据回文的性质，当mx大于i时，我们有p[i] = min(p[2mxid-i], mx - i + 1)，其中j = 2mxid-i表示i关于mxid的对称点，由于j在i的左侧，p[j]已经算出，又由于回文对称性，可以得到上式。具体理解可能需要画图会比较清晰~这里不再细说了~

第四，在实现过程中，可以在开头和结尾插入两个不同的，且没在序列中出现的字符，以保证匹配时不越界。

这里给出了O(n^2)和O(n)的两个实现。

实现

O(n^2)

class Solution {
public:
int a[1005][1005];
string longestPalindrome(string s) {
int n = s.length();
for (int i=0;i<n;i++){
a[i][i] = 1;
}
int ans = 1;
pair<int,int> p;
for (int len=1;len<n;len++){
for (int i=0;i+len<n;i++){
int j = i + len;
if (s[i] == s[j]){
if (len == 1 || a[i+1][j-1] == 1){
a[i][j] = 1;
if (len + 1 > ans){
ans = len+1;
p = make_pair(i,j);
}
}
}
}
}
return s.substr(p.first, ans);
}
};

O(n)

class Solution {
public:
int p[3000];
string longestPalindrome(string s) {
string s1;
s1 += '&';
for (int i = 0; i<s.length();i++){
s1 += '#';
s1 += s[i];
}
s1 += '#';
s1 += '@';
int n = s1.length()-1;
int mx = 0, mx_id = 0;
int ans = 0;
int ansid = 0;
for (int i=1;i<n;i++){
if (mx > i){
p[i] = min(p[2*mx_id-i], mx - i + 1);
}else{
p[i] = 1;
}
while (s1[i-p[i]] == s1[i+p[i]]){
p[i]++;
}
if (i + p[i] - 1 > mx){
mx = i + p[i] - 1;
mx_id = i;
}
if (p[i] > ans){
ans = p[i];
ansid = i;
}
}

return s.substr((ansid-ans) / 2 , ans-1);
}
};