【H.264/AVC视频编解码技术详解】十四、H.264的变换编码（一）——矩阵运算与正交变换基本概念

《H.264/AVC视频编解码技术详解》视频教程已经在“CSDN学院”上线，视频中详述了H.264的背景、标准协议和实现，并通过一个实战工程的形式对H.264的标准进行解析和实现，欢迎观看！

“纸上得来终觉浅，绝知此事要躬行”，只有自己按照标准文档以代码的形式操作一遍，才能对视频压缩编码标准的思想和方法有足够深刻的理解和体会！

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1. 矩阵的定义

矩阵，英文称为”Matrix”，是数学中一个非常重要的概念。从形式上看，矩阵可以用一个m行n列的数组成的表格表示。如下图可表示一个4行4列的方形矩阵：



在实际应用中，矩阵可以在多个技术领域发挥重要作用，如音视频压缩编码、机器学习、人工智能等领域。

2. 矩阵的运算

矩阵必须在计算中才能与其他数据进行交互。在《线性代数》中我们已经清楚地知道，矩阵可以进行求和、数乘和与矩阵相乘等运算。其中矩阵的求和与数乘运算十分简单：

矩阵求和：同型矩阵可以求和，即将对应元素求和组成新的矩阵；

矩阵数乘：任何矩阵都可与实数相乘，即将每个元素与该数字相乘组成新的矩阵；

而相比之下，矩阵与矩阵相乘会略显复杂，需要满足必要条件，即矩阵1的宽必须等于矩阵2的高方可相乘。乘积矩阵的高和宽分别为矩阵1的高和矩阵2的宽，如下图表示：



其中，乘积矩阵的元素的计算方法为：



通常，我们将只有一行或一列的矩阵称之为向量。根据排列的不同，按行或列排列的向量分别称之为行向量和列向量。

3. 向量和矩阵的线性变换

向量的线性变换定义为：向量y的每一个元素都是向量x中元素的线性组合，则y是x的线性变换。假设有向量[x1, x2, x3]和向量[y1, y2, y3]，两个向量满足以下关系：

y1 = a11 * x1 + a12 * x2 + a13 * x3

y2 = a21 * x1 + a22 * x2 + a23 * x3

y3 = a31 * x1 + a32 * x2 + a33 * x3

那么我们称向量[y1, y2, y3]可以被向量[x1, x2, x3]线性表示，以公式形式则表示为y=A·x。其含义可表示为矩阵与向量相乘：



矩阵A即为该线性变换的矩阵。

将向量的变换推广，矩阵可以视为由向量构成，因此线性线性变换同样适用于矩阵的变换：

4. 向量的正交性、正交矩阵和正交变换

要了解向量的正交性，首先应了解向量的内积的概念。在“不严格”的条件下，我们暂且可以将向量的内积理解为数量积，即两个相同长度向量对应元素乘积的总和。用公式表示为：



而向量的正交，等价于两个向量的内积为0。即：



在二维和三维空间内直观地表示，两个正交向量相互垂直：



由于矩阵可视为由多个列向量构成，那么多个两两正交的向量可以构成正交矩阵。一个矩阵是正交矩阵需要满足的条件有：

行数和列数相等，即正交矩阵都为方阵；

每一个列向量均为单位向量，即长度均为1；

各列向量两两正交；

前面提到，每一个矩阵都可以与一个线性变换对应。那么如果一个线性变换对应的变换矩阵是正交矩阵，那么该变换就是一个正交变换。正交变换的显著特点之一是，向量经过正交变换后长度不会发生变化。

5. 离散余弦变换

离散余弦变换 (Discrete Cosine Transform, DCT)类似于一种实数类型的离散傅里叶变换(DFT)，其定义有多种形式（可参考维基百科：离散余弦变换)。常用场合中使用的离散余弦变换是一个正交变换，其正变换和逆变换的计算方法如：





由于DCT具有类似于DFT的特性，DCT也可以实现如信息能量集中的功能。对于图像数据，DCT可以有效将大部分的能量集中与直流和低频部分，这也成为视频压缩中变换编码的理论基础之一。实际上，DCT长期应用与多种图像和视频的压缩编码标准中：

视频：MPEG-1/MPEG-2;

图像：JPEG

在H.264及更新的视频压缩标准中，采用的是DCT的优化改进版——整数变换。相对于浮点类型的离散余弦变换，整数变换有效降低了变换操作的运算复杂度，提升了编解码器的运行效率。