数理逻辑1 -- 命题演算5

上一节介绍了演绎定理，接下来看看用它能玩出什么新花样。

定理1.15： ⊢¬¬B⇒B

注：有点双重否定即肯定的意思。

证明：利用演绎定理，证明¬¬B⊢B即可。

(1) ¬¬B，假设

(2) ¬¬B⇒(¬B⇒¬¬B), A1

(3) ¬B⇒¬¬B, (1)(2)和MP

(4) (¬B⇒¬¬B)⇒((¬B⇒¬B)⇒B)，A3

(5) (¬B⇒¬B)⇒B, (3)(4)和MP

(6) ¬B⇒¬B, 定理1.7

(7) B， 由(5)(6)和MP

证毕

定理1.15反过来也是可以的，如下：

定理1.16： ⊢B⇒¬¬B

证明：这次直接来，不需要演绎定理。

(1) ¬¬¬B⇒¬B, 定理1.15

(2) (¬¬¬B⇒B)⇒¬¬B，由(1),A3和MP

(3) B⇒(¬¬¬B⇒B)，A1

(4) B⇒¬¬B，由(3)(2)和命题1.9（A⇒B,B⇒C⊢A⇒C)

证毕

接着证明两个“常识”。

定理1.17：⊢(¬D⇒¬B)⇒(B⇒D)

注：和定理1.12一样，用演绎定理再证一次。

证明：只需证明(¬D⇒¬B),B⊢D，然后运用两次演绎定理，即(¬D⇒¬B)⊢(B⇒D)， 和⊢(¬D⇒¬B)⇒(B⇒D)。

证明开始：

(1) ¬D⇒¬B，假设

(2) ¬B⇒¬¬¬B，定理1.16

(3) ¬D⇒¬¬¬B，(1)(2)和命题1.9

(4) (¬D⇒¬¬B)⇒D，(3)、A3和MP

(5) B，假设

(6) ¬D⇒B，(5)、A1和MP

(7) B⇒¬¬B, 定理1.16

(8) ¬D⇒¬¬B，(6)(7)和命题1.9

(9) D，(8)、(4)和MP

证毕

定理1.17“反过来”也一样

定理1.18：⊢(B⇒D)⇒(¬D⇒¬B)

证明：只需证B⇒D⊢¬D⇒¬B，然后运用演绎定理。

(1) B⇒D，假设

(2) ¬¬B⇒B, D⇒¬¬D，定理1.15和定理1.16

(3) ¬¬B⇒¬¬D，(1)(2)和MP

(4) ¬D⇒¬B, （3）和定理1.18

证毕

定理1.19: B,D⊢B∧D， 即B,D⊢¬(B⇒¬D)。

证明：

(1) (B⇒¬D)⇒(D⇒¬B)， 由定理1.12，定理1.15， 定理1.16，定理1.17，定理1.18

(2) ((B⇒¬D)⇒D)⇒(B⇒¬D)⇒¬B)，由（1）、A2和MP

(3) D，假设

(4) (B⇒¬D)⇒D，由（3）、A1和MP

(5) (B⇒¬D)⇒¬B，由（2）（4）和MP

(6) ¬¬(B⇒¬D)⇒¬B，由(5)、定理1.15和命题1.9

(7) (¬¬(B⇒¬D)⇒B)⇒¬(B⇒¬D)，由(6)、A3和MP

(8) B，假设

(9) ¬¬(B⇒¬D)⇒B，由(8)、A1和MP

(10) ¬(B⇒¬D)，由(7)、(9)和MP。

证毕

定理1.20： ⊢B⇒(¬D⇒¬(B⇒D))

证明：

(1) B,B⇒D⊢D，显然

(2) B⇒((B⇒D)⇒D)，对(1)运用两次演绎定理

(3) ((B⇒D)⇒D)⇒(¬D⇒¬(B⇒D))，由定理1.17

(4) B⇒(¬D⇒¬(B⇒D))，由(2)(3)和命题1.9

证毕

玩了这么多，对这个系统L有了很多的了解，下节再玩几下就可以了。