JZOJ 100045. 【NOIP2017提高A组模拟7.13】好数

Description

我们定义一个非负整数是“好数”，当且仅当它符合以下条件之一：

1.这个数是0或1

2.所有小于这个数且与它互质的正整数可以排成一个等差数列例如，8就是一个好数，因为1,3,5,7排成了等差数列。

给出N个非负整数，然后进行如下三个操作：

1.询问区间[L,R]有多少个好数

2.将区间[L,R]内所有数对S取余(S≤1000000)

3.将第C个数更改为X

Input

第一行包含两个正整数N和M，M表示操作数目

第二行包含N个非负整数。

接下来的M行每行表示1个操作：“1 L R”表示第1个操作，“2 L R S”表示第2个操作，“3 C X”表示第3个操作。

Output

对每个操作1，输出一个非负整数，表示区间内好数的个数。

Sample Input

Sample1:

3 6

4 6 9

1 1 3

1 3 3

2 1 1 10

1 1 3

3 2 4

1 1 3

Sample2:

8 5

12 24 17 31 16 21 18 30

1 2 5

2 4 7 7

3 2 13

1 1 8

1 3 6

Sample Output

Sample1:

2

0

2

2

Sample2:

3

6

4

Data Constraint

Solution

首先，我们暴力打表出较小的好数的情况。

接着就可以发现一些规律，“好数”一定是以下三种情况之一：

是 0 ，1 或 6 ；

是 质数 ；

是 2 的 i 次幂 。

于是我们用线性筛法筛出质数、枚举 i 次幂（预处理）。

那么我们就可以用一个布尔数组 O(1) 判断出一个数是否是“好数”了。

观察所给的三种操作，发现第 ① 、③ 种操作可以用线段树直接维护。

但是第 ② 种操作我们没有见过，直接暴力处理的话又会超时。怎么办呢？

我们考虑做线段树时多维护一个值——区间最大值。

当处理到一个区间，模数 S 比这个区间的最大值还大，那么继续处理就没有意义了。

否则直接暴力修改，这样就不会超时了，可以证明操作次数不会很大。

Code

#include<cstdio>
using namespace std;
const int N=100001,M=N*10;
struct data
{
int v,mx,s;
}g[N<<2];
int a
,f[M];
bool bz[M];
inline int read()
{
int X=0,w=1; char ch=0;
while(ch<'0' || ch>'9') {if(ch=='-') w=-1;ch=getchar();}
while(ch>='0' && ch<='9') X=(X<<3)+(X<<1)+ch-'0',ch=getchar();
return X*w;
}
inline int max(int x,int y)
{
return x>y?x:y;
}
inline void update(int v)
{
g[v].s=g[v<<1].s+g[v<<1|1].s;
g[v].mx=max(g[v<<1].mx,g[v<<1|1].mx);
}
inline void build(int v,int l,int r)
{
if(l==r)
{
g[v].v=g[v].mx=a[l];
g[v].s=!bz[a[l]];
return;
}
int mid=(l+r)>>1;
build(v<<1,l,mid);
build(v<<1|1,mid+1,r);
update(v);
}
inline void change(int v,int l,int r,int x,int y)
{
if(l==r)
{
g[v].v=g[v].mx=y;
g[v].s=!bz[y];
return;
}
int mid=(l+r)>>1;
if(x<=mid) change(v<<1,l,mid,x,y); else change(v<<1|1,mid+1,r,x,y);
update(v);
}
inline void modify(int v,int l,int r,int x,int y,int z)
{
if(g[v].mx<z) return;
if(l==r)
{
g[v].mx=g[v].v%=z;
g[v].s=!bz[g[v].v];
return;
}
int mid=(l+r)>>1;
if(y<=mid) modify(v<<1,l,mid,x,y,z); else
if(x>mid) modify(v<<1|1,mid+1,r,x,y,z); else
{
modify(v<<1,l,mid,x,mid,z);
modify(v<<1|1,mid+1,r,mid+1,y,z);
}
update(v);
}
inline int query(int v,int l,int r,int x,int y)
{
if(l==x && r==y) return g[v].s;
int mid=(l+r)>>1;
if(y<=mid) return query(v<<1,l,mid,x,y);
if(x>mid) return query(v<<1|1,mid+1,r,x,y);
return query(v<<1,l,mid,x,mid)+query(v<<1|1,mid+1,r,mid+1,y);
}
int main()
{
for(int i=2;i<M;i++)
{
if(!bz[i]) f[++f[0]]=i;
for(int j=1;j<=f[0] && i*f[j]<M;j++)
{
bz[i*f[j]]=true;
if(i%f[j]==0) break;
}
}
bz[6]=false;
for(int i=4;i<M;i<<=1) bz[i]=false;
int n=read(),m=read();
for(int i=1;i<=n;i++) a[i]=read();
build(1,1,n);
while(m--)
{
int op=read(),l=read(),r=read();
if(op==1) printf("%d\n",query(1,1,n,l,r));
if(op==2) modify(1,1,n,l,r,read());
if(op==3) change(1,1,n,l,r);
}
return 0;
}