数学问题——最大公约数和最小公倍数（Stein算法）

一、欧几里德算法缺陷

欧几里德算法是计算两个数最大公约数的传统算法，无论从理论还是从实际效率上都是很好的。但是却有一个致命的缺陷，这个缺陷在素数比较小的时候一般是感觉不到的，只有在大素数时才会显现出来。

一般实际应用中的整数很少会超过64位（当然现在已经允许128位了），对于这样的整数，计算两个数之间的模是很简单的。对于字长为32位的平台，计算两个不超过32位的整数的模，只需要一个指令周期，而计算64位以下的整数模，也不过几个周期而已。但是对于更大的素数，这样的计算过程就不得不由用户来设计，为了计算两个超过64位的整数的模，用户也许不得不采用类似于多位数除法手算过程中的试商法，这个过程不但复杂，而且消耗了很多CPU时间。对于现代密码算法，要求计算128位以上的素数的情况比比皆是，设计这样的程序迫切希望能够抛弃除法和取模。

二、Stein算法的思想

由J. Stein 1961年提出的Stein算法很好的解决了欧几里德算法中的这个缺陷，Stein算法只有整数的移位和加减法，为了说明Stein算法的正确性，首先必须注意到以下结论：

gcd(a,a)=a，也就是一个数和其自身的公约数仍是其自身。

gcd(ka,kb)=k gcd(a,b)，也就是最大公约数运算和倍乘运算可以交换。特殊地，当k=2时，说明两个偶数的最大公约数必然能被2整除。

当k与b互为质数，gcd(ka,b)=gcd(a,b)，也就是约掉两个数中只有其中一个含有的因子不影响最大公约数。特殊地，当k=2时，说明计算一个偶数和一个奇数的最大公约数时，可以先将偶数除以2。

三、Stein算法的步骤

1、如果An=Bn,那么An(或Bn)*Cn是最大公约数,算法结束

2、如果An=0，Bn是最大公约数，算法结束

3、如果Bn=0，An是最大公约数，算法结束

4、设置A1=A、B1=B和C1=1

5、如果An和Bn都是偶数，则An+1=An/2，Bn+1=Bn/2，Cn+1=Cn*2(注意，乘2只要把整数左移一位即可，除2只要把整数右移一位即可)

6、如果An是偶数，Bn不是偶数，则An+1=An/2，Bn+1=Bn，Cn+1=Cn(很显然啦，2不是奇数的约数)

7、如果Bn是偶数，An不是偶数，则Bn+1=Bn/2，An+1=An，Cn+1=Cn(很显然啦，2不是奇数的约数)

8、如果An和Bn都不是偶数，则An+1=|An-Bn|/2，Bn+1=min(An,Bn)，Cn+1=Cn

9、n加1，转1

四、Java实现

package com.js.math;

import java.util.Scanner;

/**
* 最大公约数和最小公倍数
* 解法二
* Stein算法
* @author js
*
*/
public class GCD_LCM2 {
public static void main(String[] args) {
int a,b;
System.out.println("请输入两个整数...");
Scanner scanner = new Scanner(System.in);
if(scanner.hasNext()){
a = scanner.nextInt();
b = scanner.nextInt();
System.out.println(a+"和"+b+"的最大公约数为："+gcd(a, b));
System.out.println(a+"和"+b+"的最小公倍数为："+lcm(a, b));
}
}
//最大公约数
public static int gcd(int a, int b){
int m,n,r;
m = a>=b?a:b;   //m保存a、b中的较大者
n = a<b?a:b;    //n保存a、b中的较小者
if(0==n)
return m;
if(m%2==0 && n%2==0)
return 2*gcd(m/2, n/2);
if(m%2==0)
return gcd(m/2, n);
if(n%2==0)
return gcd(m, n/2);
return gcd((m+n)/2, (m-n)/2);
}
//最小公倍数
public static int lcm(int a, int b){
int t = gcd(a, b);
return (a*b)/t;
}
}