七种方式求斐波那契（Fibonacci）数列通项

一：递归实现

 　　使用公式f
=f[n-1]+f[n-2]，依次递归计算，递归结束条件是f[1]=1，f[2]=1。

二：数组实现

 　　空间复杂度和时间复杂度都是0(n)，效率一般，比递归来得快。

三：vector<int>实现

 　　时间复杂度是0(n)，时间复杂度是0(1)，就是不知道vector的效率高不高，当然vector有自己的属性会占用资源。

四：queue<int>实现

 　　当然队列比数组更适合实现斐波那契数列，时间复杂度和空间复杂度和vector<int>一样，但队列太适合这里了，

 　　f(n)=f(n-1)+f(n-2)，f(n)只和f(n-1)和f(n-2)有关，f(n)入队列后，f(n-2)就可以出队列了。

五：迭代实现

 　　迭代实现是最高效的，时间复杂度是0(n)，空间复杂度是0(1)。

六：公式实现

　　 百度的时候，发现原来斐波那契数列有公式的，所以可以使用公式来计算的。

          由于double类型的精度还不够，所以程序算出来的结果会有误差，如果把公式展开计算，得出的结果就是正确的。

          完整的实现代码如下：

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#include "iostream"  

#include "queue"  

#include "cmath"  

using namespace std;  

  

int fib1(int index)     //递归实现  

{  

    if(index<1)  

    {  

        return -1;  

    }  

    if(index==1 || index==2)  

        return 1;  

    return fib1(index-1)+fib1(index-2);  

}  

int fib2(int index)     //数组实现  

{  

    if(index<1)  

    {  

        return -1;  

    }  

    if(index<3)  

    {  

        return 1;  

    }  

    int *a=new int[index];  

    a[0]=a[1]=1;  

    for(int i=2;i<index;i++)  

        a[i]=a[i-1]+a[i-2];  

    int m=a[index-1];  

    delete a;         //释放内存空间  

    return m;  

}  

  

int fib3(int index)           //借用vector<int>实现  

{  

    if(index<1)  

    {  

        return -1;  

    }  

  

    vector<int> a(2,1);      //创建一个含有2个元素都为1的向量  

    a.reserve(3);  

    for(int i=2;i<index;i++)  

    {  

        a.insert(a.begin(),a.at(0)+a.at(1));  

        a.pop_back();  

    }  

    return a.at(0);  

}   

  

int fib4(int index)       //队列实现  

{  

    if(index<1)  

    {  

        return -1;  

    }  

    queue<int>q;  

    q.push(1);  

    q.push(1);  

    for(int i=2;i<index;i++)  

    {  

        q.push(q.front()+q.back());  

        q.pop();  

    }  

    return q.back();  

}  

int fib5(int n)          //迭代实现  

{  

    int i,a=1,b=1,c=1;  

    if(n<1)  

    {  

        return -1;  

    }  

    for(i=2;i<n;i++)  

    {  

        c=a+b;     //辗转相加法（类似于求最大公约数的辗转相除法）  

        a=b;  

        b=c;  

    }  

    return c;  

}  

int fib6(int n)  

{  

    double gh5=sqrt((double)5);  

    return (pow((1+gh5),n)-pow((1-gh5),n))/(pow((double)2,n)*gh5);  

}   

  

int main(void)  

{  

    printf("%d\n",fib3(6));  

    system("pause");  

    return 0;  

}  

七：二分矩阵方法



如上图，Fibonacci 数列中任何一项可以用矩阵幂算出，而n次幂是可以在logn的时间内算出的。

下面贴出代码：

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void multiply(int c[2][2],int a[2][2],int b[2][2],int mod)  

{  

    int tmp[4];  

    tmp[0]=a[0][0]*b[0][0]+a[0][1]*b[1][0];  

    tmp[1]=a[0][0]*b[0][1]+a[0][1]*b[1][1];  

    tmp[2]=a[1][0]*b[0][0]+a[1][1]*b[1][0];  

    tmp[3]=a[1][0]*b[0][1]+a[1][1]*b[1][1];  

    c[0][0]=tmp[0]%mod;  

    c[0][1]=tmp[1]%mod;  

    c[1][0]=tmp[2]%mod;  

    c[1][1]=tmp[3]%mod;  

}//计算矩阵乘法，c=a*b  

  

int fibonacci(int n,int mod)//mod表示数字太大时需要模的数  

{  

    if(n==0)return 0;  

    else if(n<=2)return 1;//这里表示第0项为0，第1，2项为1  

  

    int a[2][2]={{1,1},{1,0}};  

    int result[2][2]={{1,0},{0,1}};//初始化为单位矩阵  

    int s;  

    n-=2;  

    while(n>0)  

    {  

        if(n%2 == 1)  

            multiply(result,result,a,mod);  

        multiply(a,a,a,mod);  

        n /= 2;  

    }//二分法求矩阵幂  

    s=(result[0][0]+result[0][1])%mod;//结果  

    return s;  

}  

附带的再贴上二分法计算a的n次方函数。

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int pow(int a,int n)  

{  

    int ans=1;  

    while(n)  

    {  

        if(n&1)  

            ans*=a;  

        a*=a;  

        n>>=1;  

    }  

    return ans;  

}