【C语言】求斐波那契(Fibonacci)数列通项(递归法、非递归法)
2016-03-26 11:54
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意大利的数学家列昂那多·斐波那契在1202年研究兔子产崽问题时发现了此数列.设一对大兔子每月生一对小兔子,每对新生兔在出生一个月后又下崽,假若兔子都不死亡. 问:一对兔子,一年能繁殖成多少对兔子?题中本质上有两类兔子:一类是能生殖的兔子,简称为大兔子;新生的兔子不能生殖,简称为小兔子;小兔子一个月就长成大兔子.求的是大兔子与小兔子的总和。
月 份 ⅠⅡ Ⅲ Ⅳ Ⅴ Ⅵ Ⅶ Ⅷ Ⅸ Ⅹ Ⅺ Ⅻ
大兔对数 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144
小兔对数 0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 到十二月时有大兔子144对,小兔子89对,共有兔子 144+89=233对从上表看出:
① 每月小兔对数=上月大兔对数。
②每月大兔对数等于上个月大兔对数与小兔对数之和.
综合①②两点,我们就有:每月大兔对数等于前两个月大兔对数之和.
如果用 un 表示第 n 月的大兔对数,则有
un = un-1 + un-2, n >2每月大兔对数un 排成数列为:1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144, 此数列称为斐波那契数列.
递归法:
使用公式f
=f[n-1]+f[n-2],依次递归计算,递归结束条件是f[1]=1,f[2]=1。
代码示例:
非递归法:
迭代实现是最高效的,时间复杂度是n*1 = 0(n),空间复杂度是0(1)。
月 份 ⅠⅡ Ⅲ Ⅳ Ⅴ Ⅵ Ⅶ Ⅷ Ⅸ Ⅹ Ⅺ Ⅻ
大兔对数 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144
小兔对数 0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 到十二月时有大兔子144对,小兔子89对,共有兔子 144+89=233对从上表看出:
① 每月小兔对数=上月大兔对数。
②每月大兔对数等于上个月大兔对数与小兔对数之和.
综合①②两点,我们就有:每月大兔对数等于前两个月大兔对数之和.
如果用 un 表示第 n 月的大兔对数,则有
un = un-1 + un-2, n >2每月大兔对数un 排成数列为:1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144, 此数列称为斐波那契数列.
递归法:
使用公式f
=f[n-1]+f[n-2],依次递归计算,递归结束条件是f[1]=1,f[2]=1。
代码示例:
#include<iostream> using namespace std; long long Fib(int n) { if (n == 0) { return 0; } else if (n == 1) { return 1; } else if(n > 1) { return Fib(n - 1) + Fib(n - 2); } //return n > 1 ? Fib(n - 1) + Fib(n - 2) : n; //条件运算符简单,一行代码即可 } void Test() { int N = 0; scanf("%d", &N); int ret = Fib(N); printf("%d\n", ret); } int main() { Test(); system("pause"); return 0; }但是,递归法解决此问题并非高效,下面我们看看非递归法。
非递归法:
迭代实现是最高效的,时间复杂度是n*1 = 0(n),空间复杂度是0(1)。
#include<iostream> using namespace std; long long Fib(int n) { if (n == 0) { return 0; } else if (n == 1) { return 1; } else if (n > 1) { int a = 1; int b = 1; int c = 1; for (int i = 2; i < n; i++) { c = a + b; a = b; b = c; } return c; } } void Test() { int N = 0; scanf("%d", &N); int ret = Fib(N); printf("%d\n", ret); } int main() { Test(); system("pause"); return 0; }
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