七种方式求斐波那契（Fibonacci）数列通项

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一：递归实现

　　使用公式f
=f[n-1]+f[n-2]，依次递归计算，递归结束条件是f[1]=1，f[2]=1。

二：数组实现

　　空间复杂度和时间复杂度都是0(n)，效率一般，比递归来得快。

三：vector<int>实现

　　时间复杂度是0(n)，时间复杂度是0(1)，就是不知道vector的效率高不高，当然vector有自己的属性会占用资源。

四：queue<int>实现

　　当然队列比数组更适合实现斐波那契数列，时间复杂度和空间复杂度和vector<int>一样，但队列太适合这里了，

　　f(n)=f(n-1)+f(n-2)，f(n)只和f(n-1)和f(n-2)有关，f(n)入队列后，f(n-2)就可以出队列了。

五：迭代实现

　　迭代实现是最高效的，时间复杂度是0(n)，空间复杂度是0(1)。

六：公式实现

　　 百度的时候，发现原来斐波那契数列有公式的，所以可以使用公式来计算的。

由于double类型的精度还不够，所以程序算出来的结果会有误差，如果把公式展开计算，得出的结果就是正确的。

完整的实现代码如下：

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#include "iostream"

#include "queue"

#include "cmath"

using namespace std;



int fib1(int index) //递归实现

{

if(index<1)

{

return -1;

}

if(index==1 || index==2)

return 1;

return fib1(index-1)+fib1(index-2);

}

int fib2(int index) //数组实现

{

if(index<1)

{

return -1;

}

if(index<3)

{

return 1;

}

int *a=new int[index];

a[0]=a[1]=1;

for(int i=2;i<index;i++)

a[i]=a[i-1]+a[i-2];

int m=a[index-1];

delete a; //释放内存空间

return m;

}



int fib3(int index) //借用vector<int>实现

{

if(index<1)

{

return -1;

}



vector<int> a(2,1); //创建一个含有2个元素都为1的向量

a.reserve(3);

for(int i=2;i<index;i++)

{

a.insert(a.begin(),a.at(0)+a.at(1));

a.pop_back();

}

return a.at(0);

}



int fib4(int index) //队列实现

{

if(index<1)

{

return -1;

}

queue<int>q;

q.push(1);

q.push(1);

for(int i=2;i<index;i++)

{

q.push(q.front()+q.back());

q.pop();

}

return q.back();

}

int fib5(int n) //迭代实现

{

int i,a=1,b=1,c=1;

if(n<1)

{

return -1;

}

for(i=2;i<n;i++)

{

c=a+b; //辗转相加法（类似于求最大公约数的辗转相除法）

a=b;

b=c;

}

return c;

}

int fib6(int n)

{

double gh5=sqrt((double)5);

return (pow((1+gh5),n)-pow((1-gh5),n))/(pow((double)2,n)*gh5);

}



int main(void)

{

printf("%d\n",fib3(6));

system("pause");

return 0;

}

七：二分矩阵方法



如上图，Fibonacci 数列中任何一项可以用矩阵幂算出，而n次幂是可以在logn的时间内算出的。

下面贴出代码：

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void multiply(int c[2][2],int a[2][2],int b[2][2],int mod)

{

int tmp[4];

tmp[0]=a[0][0]*b[0][0]+a[0][1]*b[1][0];

tmp[1]=a[0][0]*b[0][1]+a[0][1]*b[1][1];

tmp[2]=a[1][0]*b[0][0]+a[1][1]*b[1][0];

tmp[3]=a[1][0]*b[0][1]+a[1][1]*b[1][1];

c[0][0]=tmp[0]%mod;

c[0][1]=tmp[1]%mod;

c[1][0]=tmp[2]%mod;

c[1][1]=tmp[3]%mod;

}//计算矩阵乘法，c=a*b



int fibonacci(int n,int mod)//mod表示数字太大时需要模的数

{

if(n==0)return 0;

else if(n<=2)return 1;//这里表示第0项为0，第1，2项为1



int a[2][2]={{1,1},{1,0}};

int result[2][2]={{1,0},{0,1}};//初始化为单位矩阵

int s;

n-=2;

while(n>0)

{

if(n%2 == 1)

multiply(result,result,a,mod);

multiply(a,a,a,mod);

n /= 2;

}//二分法求矩阵幂

s=(result[0][0]+result[0][1])%mod;//结果

return s;

}

附带的再贴上二分法计算a的n次方函数。

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int pow(int a,int n)

{

int ans=1;

while(n)

{

if(n&1)

ans*=a;

a*=a;

n>>=1;

}

return ans;

}