漫步数理统计十——连续随机变量(上)

上篇文章我们讨论了离散随机变量，在统计应用中还有一个非常重要的随机变量，那就是这里要讲的连续随机变量。

定义1：对于某个随机变量，如果它的累加分布函数FX(x)对于所有的x∈R都是连续的，那么我们称其为连续随机变量。

回忆一下之前讲过的，对于任意的随机变量X,P(X=x)=FX(x)−FX(x−)，因此对于一个连续随机变量X，不存在离散质量的点；即如果X是连续的，那么对于所有的x∈R,P(X=x)=0，大部分连续随机变量是绝对连续的，即存在某个函数fX(t)，使得

FX(x)=∫x−∞fX(t)dt

函数fX(t)称为X的概率密度函数，如果fX(x)也是连续的，那么根据微积分基本定理可得

ddxFX(x)=fX(x)

连续随机变量X的支撑由满足fX(x)>0的点x组成，与离散情况一样，我们常用S表示X的支撑。

如果X是一个连续随机变量，那么通过积分可以得到其概率，即

P(a<X≤b)=FX(b)−FX(a)=∫bafX(t)dt

另外对于连续随机变量，P(a<X≤b)=P(a≤X≤b)=P(a≤X<b)=P(a<X<b)，因为fX(x)在X的支撑上是连续的且FX(∞)=1，所以pdf满足两个性质：

(i):fX(x)≥0;(ii):∫∞−∞fX(t)dt=1

在高等概率论教程中，如果一个函数满足上面的两个性质，那么它就是一个连续随机变量的pdf。

考虑在区间(0,1)中随机选一个数的例子，所选的数字X 就是一个连续随机变量的例子，对于x∈(0,1)，X的cdf是FX(x)=x，因此X的pdf为

fX(x)={10x∈(0,1)elsewhere

任何连续或离散随机变量X，如果它的pdf或pmf在X的支撑上是常数，那么我们说其满足均匀分布。

例1：假设我们在半径为1的单位圆上随机选一个点，令X表示原点与该点的距离，那么试验的样本空间是C={(w,y):w2+y2<1}，因为点是随机选择的，似乎C的子集C等价于面积，因此所选点位于的集合C正比于C的面积；即

P(C)=C的面积π

对于0<x<1，事件{X≤x}等价于半径为x的圆中的点。根据概率法则可得P(X≤x)=πx2/π=x2，因此X的cdf为

FX(x)=⎧⎩⎨0x21x<00≤x<11≤x

X的pdf为

fX(x)={2x00≤x<1elsewhere

为了说明，所选点位于半径为1/4,1/2环中的概率为

P(14<X≤12)=∫12142wdw=[w2]|1214=316

例2：令随机变量表示繁忙阶段打进电话的时间间隔(单位为秒)，假设X随机变量模型的pdf为

fX(x)={14e−x/400<x<∞elsewhere

注意fX满足pdf的两个性质，即(i)f(x)≥0且(ii)

∫∞014e−x/4dx=[−e−x/4]|∞0=1

为了说明，连续两次电话的时间超过4秒的概率为

P(X>4)=∫∞014e−x/4dx=e−1=0.3679

上面考虑的pdf与概率如图1所示。



图1

令X是连续随机变量，pdfX是已知的。与离散情况一样，我们经常对随机变量Y感兴趣，而随机变量是X的某个变换，Y=g(X)，我们一般通过得到Y的cdf后即可求出pdf，接下来举例说明。

例3：令X是例1中的随机变量，表示单位圆中随机选的点距原点的距离。假设我们对距离的平方感兴趣；即Y=X2，Y的支撑与X是一样的即SY=(0,1)，Y的cdf是什么呢？我们知道X的cdf是

FX(x)=⎧⎩⎨0x21x<00≤x<11≤x

令y位于Y的支撑中；例如0<y<1，那么利用上式以及X的支撑只包含正值，那么Y的cdf是

FY(y)=P(Y≤y)=P(X2≤y)=P(X≤y√)=FX(y√)=y√2=y

紧接着Y的pdf是

fY(y)={100<y<1elsewhere

例4：令fX(x)=12,−1<x<1，其余地方为0，是随机变量X的pdf，随机变量Y为Y=X2，我们希望找出Y的pdf。如果y≥0，概率P(Y≤y)等价于

P(X2≤y)=P(−y√≤X≤y√)

Y的cdf，FY(y)=P(Y≤y)为

FY(y)=⎧⎩⎨⎪⎪0∫y√y√12dx=y√1y<00≤y<11≤y

因此Y的pdf为

fY(y)={12y√00<y<1elsewhere

这些例子说明了累加分布函数方法。第一个例子中的变换是一对一的，这时候我们用X的pdf得到Ypdf的简单形式，如下篇文章的定理所述。