漫步数理统计九——离散随机变量

定义1：对于一个随机变量，如果它的空间要么有限，要么可数，那么我们称其是一个离散随机变量。

对于集合D，如果它的元素是可列的，那么我们称这个集合是可数的；例如在D与正整数之间存在一个一一对应的关系。

例1：考虑抛硬币产生的独立序列，每个结果要么是头(H)要么是尾(T)。进一步，在每次抛的过程中，我们假设H,T是等可能的，即P(H)=P(T)=12。样本空间C由像TTHTHHT⋯这样的序列组成，令随机变量X第一次抛出头时所抛的次数，那么对于给定的序列，X=3。显然X的空间是D={1,2,3,4,…}，当开始是H 时X=1，因此P(X=1)=12，同样得当序列为TH 时X=2，根据独立性可知概率P(X=2)=(12)(12)=14。更一般得，如果X=x，其中x=1,2,3,4,…，那么前面有x−1次为尾，即TT⋯TH，所以根据独立性，我们有

P(X=x)=(12)x−1(12)=(12)x,x=1,2,3,…

这个空间是可数的。一个有趣的事件是第一处出现头的次数为奇数；例如X=∈{1,3,5,…}，这个事件的概率为

P[X∈{1,3,5,…}]=∑x=1∞(12)2x−1=1/21−(1/4)=23

通过上面的例子表明，关于离散随机变量的概率可以用P(X=x)的概率求出来，这些概率确定了一个重要的函数，定义下：

定义2：令X是离散随机变量，空间为D，X的概率质量函数由

pX(x)=P[X=x],for x∈D

给出。

注意，pmf满足下面两条性质：

(i)0≤pX(x)≤1,x∈D;(ii)Σx∈DpX(x=1)

对于离散集合D，如果一个函数满足性质(i)(ii)，那么这个函数唯一确定了随机变量的分布。

令X是离散随机变量，空间为D，FX(x)的不连续点定义了质量；即如果x是FX的一个不连续点，那么P(X=x)>0。现在我们将随机变量空间与概率为正的点区别开来，对那些空间X中概率为正的点我们定义其为随机变量X 的支撑，我们经常用S来表示X的支撑，注意S⊂D，当然也有可能S=D

例2：现在有100个保险丝，从中随机抽出5个进行检测；如果5个均合格，那么这100个接受。事实上，这100个中有20个不合格，那么该保险丝被接受的概率为

(805)(1005)=0.32

更一般得，令随机变量X是5个中不合格的个数，那么X的pmf为

pX(x)=⎧⎩⎨⎪⎪(20x)(805−x)(1005)0for x=0,1,2,3,4,5elsewhere

很明显，X的空间是D={0,1,2,3,4,5}，这是满足超几何分布的随机变量的实例，基于这些讨论很容易画出Xcdf的图像。

在统计学中经常会遇到这样的问题，我们有一个随机变量X 并且知道它的分布，然而我们感兴趣的是随机变量Y，他它是X的某个变量，Y=g(X)。尤其是我们想确定Y的分布，假设X在空间DX中是离散的，那么Y的空间是DY={g(x):x∈DX}。现在考虑两种情况：

首先g是一对一的，那么Y的pmf为

pY(y)=P[Y=y]=P[g(X)=y]=P[X=g−1(y)]=pX(g−1(y))(1)

例3：考虑例1的几何随机变量X，X是第一次出现头时所抛硬币的次数，令Y是第一次出现头时前面所抛硬币的次数，即Y=X−1。这时函数g为g(x)=x−1，其逆为g−1(y)=y+1，Y的空间是DY={0,1,2,…}，根据等式1的表达式可得Y的pmf是

pY(y)=pX(y+1)=(12)y+1,for y=0,1,2,…

例4：令X的pmf为

pX(x)={3!x!(3−x)!(23)x(13)3−x0x=0,1,2,3elsewhere

我们现在求随机变量Y=X2的pmfpY(y)，变换y=g(x)=x2将DX={x:x=0,1,2,3}映射到DY={y:y=0,1,4,9}，一般而言，y=x2不是一对一映射的；但是这里是满足条件的，因为DX={x:x=0,1,2,3}中的x不存在负值，即我们有单值的反函数x=g−1(y)=y√(不是−y√)，并且

pY(y)=pX(y√)=3!(y√)!(3−y√)!(23)y√(13)3−y√, y=0,1,4,9

第二种情况中的变换g(x)不是一对一的。虽然不是绝对的，但是对大多数涉及离散随机变量的应用来说，Y的pmf通过直接的方法就能得到，为此我们给出两个例子。

考虑例3中的几何随机变量，我们玩一个游戏，如果第一次头出现的次数为偶数甲方赢一元，如果是奇数那么甲方输一元，令Y表示我们的净收益，那么Y的空间是{−1,1}。例1 中已经计算出X为奇的概率为23，因此Y的分布为pY(−1)=2/3,pY(1)=1/3。

考虑另一个例子，令Z=(X−2)2，其中X是例1的几何随机变量，那么Z的空间是DZ={0,1,4,9,16,…}，注意当且仅当X=2时Z=0；当且仅当X=1或者X=3时Z=1；而其他情况存在一对一的关系：x=z√+2,z∈{4,9,16,…}。因此Z的pmf是：

pZ(x)=⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪pX(2)=14pX(1)+pX(3)=58pX(z√+2)=14(12)z√for z=0for z=1for z=4,9,16,…

为了验证其正确性，读者可以试着计算Z的pmf在其空间上求和等于1。

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