漫步数理统计二——集合论

对象集合的概念通常还未定义，然而可以描述特定的集合使得我们考虑的对象集合没有歧义。例如前10个正整数的集合就非常清楚，34,14均不在这个集合中，而3在这个集合中。如果对象属于这个集合，我们就说它是集合的元素，例如如果C表示0≤x≤1的x集合，那么34就是集合C的一个元素，34是集合C的一个元素这个事实可以写成34∈C，更一般得，c∈C意味着c是集合C的一个元素。

我们关注的集合大部分都是数集，然而，点集的语言比数集稍微方便点。因此，我们简要说明我们如何使用这个术语。 解析几何中比较重视的事实是对于一条线上的每个点（原点和单位点已经选出来了）有且只有一个数与之对应，假设为x；并且对于每个数x，在直线上有且只有一个点与之对应。在不产生歧义的情况下，这个数与点之间一一对应关系使得我们说点x而不是数x，更进一步，在平面矩形坐标系中，对于每个符号(x,y)，平面中有且仅有一个点与之对应；对于平面中的每个点，有且仅有一个这样的符号。因此我们可以说点(x,y)，这就意味着有序数对x,y。当我们讨论三维或更高维空间的矩形坐标系时经常用这种语言，因此点(x1,x2,…,xn)意味着有序状态的数x1,x2,…,xn。所以在描述集合时，我们经常用点集(元素都是点的集合)进行描述，符号C={x:0≤x≤1}表示C是x的一维集合，其中0≤x≤1，同样得，C={(x,y):0≤x≤1,0≤y≤1}表示C是点(x,y)的二维集合。现在我们给出一些定义，有他们导出集合的基本代数。

定义1：如果集合C1的每个元素也是集合C2的一个元素，那么集合C1称为集合C2的一个子集，我们写成C1⊂C2。如果C1⊂C2且C2⊂C1，那么这两个集合有相同的元素，我们写成C1=C2。

例1：令C1={x:0≤x≤1},C2={x:−1≤x≤2}，这里一维集合C1看成一维集合C2的一个子集；即C1⊂C2。以后在集合维数清楚的情况下，我们就不再具体的提及了。

例2：定义两个集合C1={(x,y):0≤x=y≤1},C2={(x,y):0≤x≤1,0≤y≤1}，因为C1的元素位于方形对角线上，所以C1⊂C2。

定义2：如果集合C没有元素，那么称C为空集，写作C=ϕ。

定义3：至少属于C1,C2中一个集合的所有元素构成的集合称为C1,C2的并，写作C1∪C2。集合C1,C2,C3,…的并由至少属于一个集合元素构成，表示为C1∪C2∪C3∪⋯，当集合是有限个时写成C1∪C2∪⋯Ck。

例3：定义集合C1={x:x=8,9,10,11,or 11<x≤12},C2={x:x=0,1,…,10}，那么

C1∪C2={x:x=0,1,…,8,9,10,11,or 11<x≤12}={x:x=0,1,…,8,9,10,or 11≤x≤12}

例4：C1,C2定义如例2，那么C1∪C2=C2。

例5：令C2=ϕ，那么对于所有的C1,C1∪C2=C1。

例6：对每个集合C,C∪C=C。

例7：令

Ck={x:1k+1≤x≤1},k=1,2,3,…

那么C1∪C2∪C3∪⋯={x:0<x≤1}，注意零不在这个集合中，因为任何一个C1,C2,C3,…中都没有零。

定义4：同时属于C1,C2的所有集合称为C1,C2的交，C1,C2的交写作C1∩C2，集合C1,C2,C3,…的交是属于C1,C2,C3,…的所有元素，表示成C1∩C2∩C3∩⋯，如果集合是有限多个的，那表示成C1∩C2∩⋅∩Ck。

例8：令C1={(0,0),(0,1),(1,1)},C2={(1,1),(1,2),(2,1)}，那么C1∩C2={(1,1)}。

例9：令C1={(x,y):0≤x+y≤1},C2={(x,y):1<x+y}，那么C1,C2没有公共点，即C1∩C2=ϕ。

例10：对于每个集合C,C∩C=C,C∩ϕ=ϕ。

例11：令

Ck={x:0<x<1k},k=1,2,3,…

那么C1∩C2∩C3∩⋯是空集，因为没有一个点属于集合C1∩C2∩C3∩⋯。

例12：令C1,C2分别表示由两个相交的圆围成的点集，那么集合C1∪C2,C1∩C2可以用如图??? 所示的维纳图表示。



图1

例13：令C1,C2,C3分别表示三个相交的圆围成的点，那么集合(C1∪C2)∩C3,(C1∩C2)∪C3如图???所示。



图2

定义5：在某些讨论中，可能需要描述讨论的所有元素，考虑的所有元素组成的集合我们称之为空间，惊心啊过用字母C,D表示。

例14：掷四次硬币，头朝上的次数记为x，这个值可能为0,1,2,3,4，这里的空间就是集合C={0,1,2,3,4}。

例15：考虑底为x高为y的非退化矩形，为了有意义x,y都为正值，那么这个空间就是C={(x,y):x>0,y>0}。

定义6：令C表示空间，C是集合C的一个子集，属于C但不属于C的集合称为C的补给，用Cc表示，特别地Cc=ϕ。

例16：C与例14一样，令C={0,1}，那么C的补是Cc={2,3,4}。

例17：给定C⊂C，那么C∪Cc=C,C∩Cc=ϕ,C∪C=C,C∩C=C,(Cc)c=C。

例18：(德摩根定律)令C表示一个空间，Ci⊂C,i=1,2，那么

(C1∩C2)c=Cc1∪Cc2(C1∪C2)c=Cc1∩Cc2

在微积分中，像函数

f(x)=2x,−∞<x<∞

或者

g(x,y)={e−x−y00<x<∞,0<y<∞elsewhere

再或者

h(x1,x2,…,xn)={3x1x2…xn00≤xi≤1,i=1,2,…,nelsewhere

经常出现，f(x)在点x=1处的值为f(1)=2；g(x,y)在点(−1,3)处的值为g(−1,3)=0；h(x1,x2,…,xn)在点(1,1,…,1)处的值为3。像这样的函数称为一个点的函数，或者简单点为点函数，因为他们是由指定空间中的某点处进行估计的。

如果他们有用的话，我们没必要只在一个点处进行估计，而是考虑整个点集。这样的函数自然成为集合函数，接下来我们给出集合函数的实例以及对某些简单的集合进行估计。

例19：令C是一维空间的集合，Q(C)等于C 中正整数的总数，那么Q(C)是集合C的一个函数，因此，如果C={x:0<x<5}，那么Q(C)=4；如果C={−2,−1}，那么Q(C)=0；如果C={x:−∞<x<6}，那么Q(C)=5。

例20：令C是二维空间的一个集合，如果C的面积是有限的，那么令Q(C)是C的面积；否则Q(C)未定义。因此，如果C={(x,y):x2+y2≤1}，那么Q(C)=π；如果C={(0,0),(1,1),(0,1)}，那么Q(C)=0；如果C={(x,y):0≤x,0≤y,x+y≤1}，那么Q(C)=12。

例21：令C是三维空间的一个集合，如果C的体积是有限的，那么令Q(C)是C的体积；否则Q(C)未定义。因此，如果C={(x,y,z):0≤x≤2,0≤y≤1,0≤z≤3}，那么Q(C)=6；如果C={(x,y,z):x2+y2+z2≥1}，那么Q(C)未定义。

现在我们引入下面的符号，

∫Cf(x)dx

表示f(x)在一维空间集合C上的(黎曼)积分；

∬Cg(x,y)dxdy

表示g(x,y)在二维空间集合C上的黎曼积分，等等。除非集合C，函数f(x),g(x,y)认真选取，否则一般都无法进行积分。同样的，

∑Cf(x)

表示在整个x∈C上的和；

∑∑Cg(x,y)

表示在整个(x,y)∈C上的和；等等。

例22：令C是一维空间中的集合，Q(C)=ΣCf(x)，其中

f(x)={(12)x0x=1,2,3,…elsewhere

如果C={x:0≤x≤3}，那么

Q(C)=12+(12)2+(12)3=78

例23：令Q(C)=ΣCf(x)，其中

f(x)={px(1−p)(1−x)0x=0,1elsewhere

如果C={0}，那么

Q(C)=∑(x=0)0px(1−p)1−x=1−p

如果C={x:1≤x≤2}，那么Q(C)=f(1)=p。

例24：令C是一维集合，

Q(C)=∫Ce−xdx

那么如果C={x:0≤x≤∞}，那么

Q(C)=∫∞0e−xdx=1

如果C={x:1≤x≤2}，那么

Q(C)=∫21e−xdx=e−1−e−2

如果C1={x:0≤x≤1},C2={x:1<x≤3}，那么

Q(C1∪C2)=∫30e−xdx=∫10e−xdx+∫31e−xdx=Q(C1)+Q(C2)

如果C=C1∪C2，其中C1={x:0≤x≤2},C2={x:1≤x≤3}，那么

Q(C)=Q(C1∪C2)=∫30e−xdx=∫20e−xdx+∫31e−xdx−∫21e−xdx=Q(C1)+Q(C2)−Q(C1∩C2)

例25：令C是n维空间的集合，

Q(C)=∫⋯∫Cdx1dx2⋯dxn

如果C={(x1,x2,…,xn):0≤x1≤x2≤⋯≤xn≤1}，那么

Q(C)=∫10∫xn0⋯∫x30∫x20dx1dx2…dxn−1dxn=1n!

其中n!=n(n−1)⋯3⋅2⋅1。