漫步数理统计八——随机变量(下)

接下来考虑离散随机变量的累加分布函数。

例2：考虑例1，X的空间是D={2,…,12}，如果x<2，那么FX(x)=0，如果2≤x<3，那么FX(x)=1/36，依次递推，我们可以看到X的cdf是一个递增的阶梯函数，如图1。给定FX(x)，我们可以确定X的pmf。



图1

下面讨论连续随机变量的cdf。

例3：令X表示0与1之间随机选择的一个实数，我们现在求X的cdf。首先，如果x<0，那么P(X≤x)=0，接下来，如果X>1，那么P(X≤x)=1，最后，如果0<x<1，根据等式3可得P(X≤x)=P(0<X≤x)=x−0=x，因此X的cdf是

FX(x)=⎧⎩⎨0x1ifx<0if0≤x<1ifx≥1

X的cdf如图2所示，



图2

令fX(x)为

fX(x)={100<x<1elsewhere

那么

FX(x)=∫x−∞fX(t)dt,for all x∈R

除了x=0,x=1外，对所有的x∈R,ddxFX(x)=fX(x)，函数fX(x)定义为X的概率密度函数(pdf)，为了说明如何用pdf计算X上的概率，考虑

P(18<X<34)=∫3/41/8fX(x)dx=∫3/41/81dx=58

令X,Y是两个随机变量，当且仅当对所有x∈R,FX(x)=FY(x)，我们说X,Y分布上是相等的，写作X=DY。注意X,Y在分布上可能相等的时候，他们可能差别非常大，例如考虑上面的例子，令随便变量Y=1−X，那么Y≠X，但是Y的空间是(0,1)，与X 是一样的。进一步，当y<0时Y的cdf是0；当y>1时为1；当0≤y<1时它是

FY(y)=P(Y≤y)=P(1−X≤y)=P(X≥1−y)=1−(1−y)=y

因此Y与X有相同的cdf，即Y=DX，但是Y≠X。

图1,2展示的cdf表明增函数的下界为0，上界为1，这两幅图至少是右连续的，正如下面定理所述的，对于一般的cdf而言，这些性质都是成立的。

定理1：令X是随机变量，其累加分布函数是F(x)，那么

对于所有的a,b，如果a<b，那么F(a)<F(b)，(F是非减函数)

limx→−∞F(x)=0，(F的下极限是0)

limx→∞F(x)=1，(F的上极限是0)

limx↓x0F(x)=F(x0)，(F是右连续的)

证明：我们证明(a),(d)，其余的读者可以试着练习一下。

a：因为a<b，我们有{X≤a}⊂{X≤b}，根据P的单调性即得出结论。

b：令{xn}是满足xn↓x0的任意实数序列，令Cn={X≤xn}，那么集合序列{Cn}是递减的且∩∞n=1Cn={X≤x0}，因此前面学到的定理可得

limn→∞F(xn)=P(⋂n=1∞Cn)=F(x0)

得证。

下面的定理在用cdf计算概率是非常有用。

定理2：令X是随机变量，cdf为FX，那么对于a<b,P[a<X≤b]=FX(b)−FX(a)。

证明：注意

{−∞<X≤b}={−∞<X≤a}∪{a<X≤b}

等式右边是两个互斥集合的并，由此推断结论。

例4：令X表示某电器的寿命，假设X的cdf为

FX(x)={01−e−xx<00≤x

X的pdf，ddxFX(x)是

fX(x)={e−x00<x<∞elsewhere

实际上x=0处的导数不存在，但是在连续的情况下，下一个定理说明P(X=0)=0，故我们令fX(0)=0不影响X的概率。那么寿命在1到3年间的概率为

P(1<X≤3)=FX(3)−FX(1)=∫31e−xdx

即概率可以用FX(3)−FX(1)找出，或者用积分计算出来，这两种情况的结果都是e−1−e−3=0.318。

定理1说明cdf是右连续且单调的，这样的函数只有可数个不连续点，正如下面定理说述，cdf的不连续点有质量；即，如果x是FX的一个不连续点，那么P(X=x)>0。

定理3：考虑任何随机变量，对于所有的x∈R

P[X=x]=FX(x)−FX(x−)

其中FX(x−)=limz↑xFX(x)。

证明：对任意x∈R，我们有

{x}=⋂n=1∞(x−1n,x]

即，{x}是递减集合序列的极限，因此

P[X=x]=P[⋂n=1∞{x−1n<X≤x}]=limn→∞P[x−1n<X≤x]=limn→∞[FX(x)−FX(x−(1/n))]=FX(x)−FX(x−)

得证。

例5：令X有不连续的cdf

FX(x)=⎧⎩⎨0x/21x<00≤x<11≤x

那么

P(−1<X≤1/2)=FX(1/2)−FX(−1)=14−0=14

且

P(X=1)=FX(1)−FX(1−)=1−12=12

不管是pmf为pX(x)的离散随机变量还是pdf为fX(x)的连续随机变量，全概率都为1，所以下式恒为真

∑x∈DpX(x)=1,∫DfX(x)dx=1

其中D是X的空间。对于接下来的两个例子，我们会用这个性质来确定pmf或pdf。

例6：假设X的pmf为

pX(x)={cx0x=1,2,…,10elsewhere

那么

1=∑x=110pX(x)=∑x=110cx=c(1+2+⋯+10)=55c

因此c=1/55。

例7：假设X的pdf为

fX(x)={cx300<x<2elsewhere

那么

1=∫20cx3dx=cx44|20=4c

因此c=1/4。当计算涉及X的概率是，我们有

P(14<X<1)=∫11/4x34dx=2554096=0.06226

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