漫步数理统计四——概率集合函数(下)

例3：C被分成k个两两不相交的子集C1,C2,…,Ck，并且这k个子集的并是C，那么事件C1,c2,…,Ck是相互互斥且是穷举的。假设某个随机试验满足这样的特性，并且事件Ck,i=1,2,…,k概率相同，即P(Ci)=1/k,i=1,2,…,k；我们经常说事件C1,C2,…,Ck是等可能的。令事件E是r个事件的并即

E=C1∪C2∪⋯∪Cr,r≤k

那么

P(E)=P(C1)+P(C2)+⋯+P(Cr)=rk

通产整数k称为随机试验终止方式的总数，整数r称为有利于事件E的总数，因此用这个术语表述就是，P(E)等于有利于事件E的总数除以试验终止的总数。为了强调给事件E 分配概率为r/k，我们必须假设互斥事件C1,C2,…,Ck有相同的概率1/k，这个等可能事件的假设是我们模型的一部分，显然这个假设并非对所有情况都满足。

为了说明等可能情况，我们给出一些基本的计数法则，这些通常会在基本代数课程中讨论，为了后文的讲解，我们这里给出大概介绍。

注3：假设我们有两个试验，第一个有m个结果，第二个有n个结果。现在将这两个试验组合起来，先后进行这两个试验，那么我们就有mn个有序对，这就是乘法法则或mn法则，它很容易扩展到更多的情况。

令A是n个元素组成的集合，假设我们对k元感兴趣，k 元的分量都是A的元素，那么利用扩展的乘法法则我们可以得到n⋅n⋯n=nk种k元。假设k≤n，且k元的分量是A中不同的元素组成的，那么第一个分量有n种选择，第二个分量有n−1种选择，…，第k个分量有n−(k−1)种选择，因此利用乘法法则，存在n(n−1)⋯(n−(k−1))种k元。我们称这种k元是排列，用符号Pnk表示n个元素中取k个排列的总数，公式为：

Pnk=n(n−1)⋅(n−(k−1))=n!(n−k)!

接下来假设顺序不重要，所以我们不在计算排列的个数，我们想计算从A中取k个元素子集的个数，我们用符号(nk)表示这种集合的总数。考虑A中取k个元素子集，根据排列规则可得Pkk=k(k−1)⋯1中排列，进一步所有这种排列与其他k个元素子集生成的排列是不同的，对于每个由k个不同元素生成的排列肯定是这些子集中的一个生成，因此我们需要说明Pnk=(nk)k!；即

(nk)=n!k!(n−k)!

我们经常有属于组合而不是子集，所以我们说从n个事物构成的集合中取k个事物有(nk)种组合方式，另一个常用的符号是Cnk。

如果我们扩展二项式

(a+b)n=(a+b)(a+b)⋅(a+b)

就会得到

(a+b)n=∑k=0n(nk)akbn−k

因为对于a的k次幂，我们有(nk)种选择方式，所以(nk)也称为二项式系数。

例4:从52张扑克牌中随机抽一张，样本空间C是k=52种结果的并，可以假设每种结果的概率是152。如果E1表示抽到黑桃，那么P(E1)=1352=14，因为有r1=13张黑桃；即14是从牌中抽到黑桃的概率。如果E1表示抽到国王，那么P(E2)=452=113，因为有r2=4张国王；即113是从牌中抽到国王的概率。这些计算都非常容易，因为确定r,k的值非常容易。

然而，现在不取一张，而是随机抽五张，顺序不重要，那么根据前面的组合可知有(525)种可能。现在我们计算一些比较有趣的情况，令E1表示同花色，那么有(41)=4种同花色的情况，对于每种花色有(135)种可能的结果；因此利用乘法法则可得

P(E1)=(41)(135)(525)=4⋅12872598960=0.00198

假设E2是三张为国王，两张为王后的情况，那么选国王有(43)种可能，选王后有(42)种可能，因此E2的概率为

P(E2)=(43)(42)/(525)=0.0000093

前面的例子让我们看到，我们是可以定义概率集合函数的，即集合函数需要满足定义2的要求。假设我们的空间C由k个不同的点组成，目前考虑一维空间。如果随机试验每个结果是等可能的，我们给每个点分配1/k，那么对于C⊂C

P(C)=♯Ck=∑x∈Cf(x)f(x)=1k,x∈C

为了说明，我们取C={1,2,3,4,5,6},x∈C,f(x)=16，这个概率集合函数就满足定义2。

我们用概率的另一性质来结束本次主题。考虑递增的事件序列{Cn}，即Cn⊂Cn+1，此时我们写limn→∞Cn=∪∞n=1Cn，考虑极限limn→∞P(Cn)，问题是P与极限可以交换吗？下面的定理说明答案是可以，结论对递增序列同样满足。因为可交换，这个定义有时称为概率的连续性定理。

定理6：令{Cn}是递增的事件序列，那么

limn→∞P(Cn)=P(limn→∞Cn)=P(⋃n=1∞)

令{Cn}是递减的事件序列，那么

limn→∞P(Cn)=P(limn→∞Cn)=P(⋂n=1∞)

证明：我们只证明第一个，第二个同理可证。定义集合如下：R1=C1,n>1时Rn=Cn∩Ccn−1。由此可得∪∞n=1Cn=∪∞n=1Rn,m≠n时Rm∩Rn=ϕ，而且P(Rn)=P(Cn)−P(Cn−1)，应用概率论第三公理得到下面的等式：

P[limn→∞Cn]=P(⋃n=1∞Cn)=P(⋃n=1∞Rn)=∑n=1∞P(Rn)=limn→∞∑j=1nP(Rj)=limn→∞{P(C1)+∑j=2n[P(Cj)−P(Cj−1)]}=limn→∞P(Cn)

证毕。||

另一个对任意并很有用的结论为：

定理7：(布尔不等式)令{Cn}是任意的事件序列，那么

P(⋃n=1∞Cn)≤∑n=1∞P(Cn)

证明：令Dn=∪ni=1Ci，那么{Dn}是递增序列且区域∪∞n=1Cn。另外对于所有的j,Dj=Dj−1∪Cj，因此根据定理5得

P(Dj)≤P(Dj−1)+P(Cj)

即

P(Dj)−P(Dj−1)≤P(Cj)

现在用Di代替Ci，利用定理6的结论以及P(C1)=P(D1)可得

P(⋃n=1∞Cn)=P(⋃n=1∞Dn)=limn→∞⎧⎩⎨P(D1)+∑j=2n[P(Dj)−P(Dj−1)]⎫⎭⎬≤limn→∞∑j=1nP(Cj)=∑n=1∞P(Cn)

证毕。||