Link-cut-tree 学习记录 & hdu4010
2017-03-10 07:17
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网上的lct一抓一大把,所以我也不再写什么讲解了,只写一写自己的看法.
Link-cut-tree 是用于维护动态树的一种数据结构
所谓动态树就是一片存在边的添加与删除的森林中的一棵树
所以我们要快速处理加边和删边
关于具体的Preferred Child和Preferred Path还有Preferred Edge什么的...就不多说了
不过关于link-cut-tree还有比较重要,刚开始易混淆的地方:
- LCT实际上维护的是两棵树,一棵是原树,另一棵是辅助树.其中原树就是我们要维护的树,而辅助树则是我们根据Preferred Path而维护的Splay森林.即每条Preferred Path都是一棵Splay.
- 所以我们有:
- 原树与辅助树的结构并不相同
辅助树的根节点不等于原树的根节点
辅助树中的father不等于原树中的father
对LCT的上述性质比较了解后,这里来介绍一下LCT的基本操作.
基本操作
Access(u) :
- 将原树上u到根的路径全部变为Prefered Edge,也就是操作之后将会出现一条同时包括原树的根与原树上节点u的Prefferd Path.
- 将在原树上到根所经过的所有辅助树的节点取出,构成一棵新的Splay.也就是说,这时原树中的根与原树着的u共处于同一棵辅助树中.
inline Node* Access(Node *u){ for(Node *v=null;u != null;v=u,u=u->fa) splay(u),u->ch[1] = v,u->update(); return u; }
findRoot(u) :
- 找到原树中u所在树的根节点(不要忘了我们维护的是一片森林)
- 我们知道根节点的深度一定最小,所以我们Access(u)后,u一定与原树中的根节点同处于一棵Splay(辅助树)中.所以我们知道根节点一定是u所在splay的最左节点.所以我们splay(u)然后找到最靠左的节点即可.
- 注意 : 为了保证均摊复杂度为\(O(logn)\)这里仍需要对找到的根rt进行Splay
inline Node* getRt(Node *u){ Access(u);splay(u); while(u->ch[0] != null) u = u->ch[0]; splay(u);return u; }
makrRoot(u) :
- 将原树中的u作为原树的根节点,
- 由于原树与辅助树的树形结构并不相同,这里不能直接Access(u),splay(u)就完事.由于splay中是按照deep为关键字排序的,所以在辅助树中无论以那个节点为根,都不会改变原树中的根,因为Splay过程中节点的相对位置不会进行变化,而根的dep最小,一定时时刻刻处于最左端.所以我们可以在Access(u),splay(u)后对u打上翻转标记,表示让u所在的辅助树的根节点进行反转.
我们来分析一下上述操作的正确性:
首先我们知道:
- 所有深度大于u的节点一定都不会被存放在这棵辅助树中
所以我们就发现: Splay(u)后一定不存在任何一个节点在u的右侧
所以现在我们只考虑u左面接上了一条链的情况.(其他情况一定可以转化成链)
这时候我们发现如果我们选择以u作为根,那么这条链上节点的深度关系会中心对称地变化
所以我们在这条链上打上翻转标记即可.
inline void makeRt(Node *u){ Access(u);splay(u);u->tag ^= 1; }
link(u,v) :
- 将u接到v的下面
- 实现这个操作有两一种方法:
- 方法一: makeroot(u),u->fa = v;
方法二: Access(u),splay(u),u->fa = v;
不要管第二种方法了,明显是不对的... ...
这个操作的问题应该不大...
inline void link(Node *u,Node *v){ makeRt(u);u->fa = v; }
cut(u,v)
- 删除u与v之间的边.
- makeRoot(u),Access(v),splay(v),v->ch[0] = v->ch[0]->fa = 0;
inline void cut(Node *u,Node *v){ makeRt(u);Access(v);splay(v); v->ch[0] = v->ch[0]->fa = null; v->update(); }
如果是删除u与其father的连边呢?
- Access(u),splay(u),u->ch[0] = u->ch[0]->fa = 0;
其他操作
get(u,v):
- 取出原树上u->v这一条链并恰好将其存于一棵辅助树中,并返回这棵辅助树的根节点.
- makrRoot(u),Access(v),splay(v) 此时v即为所求
inline Node* get(Node *u,Node *v){ makeRt(u);Access(v);splay(v); return v; }
lca(rt,u,v):
- 求出以rt为根时的u和v的lca(最近公共祖先)
- makeroot(rt),Access(u),Access(v),此时Access(v)范围值即为所求
inline Node* lca(Node *rt,Node *u,Node *v){ makeRt(rt);Access(u);return Access(v); }
更多操作等会会了再写上来
模板:
hdu 4010 Link-Cut-Tree
#include <cstdio> #include <cstring> #include <algorithm> using namespace std; typedef long long ll; inline void read(int &x){ x=0;char ch;bool flag = false; while(ch=getchar(),ch<'!');if(ch == '-') ch=getchar(),flag = true; while(x=10*x+ch-'0',ch=getchar(),ch>'!');if(flag) x=-x; } const int maxn = 600010; struct Node{ Node *ch[2],*fa; int w,mx,lazy,tag; void update(); }*null,*it,mem[maxn]; void Node::update(){ mx = max(max(ch[0]->mx,ch[1]->mx),w); } inline void init(){ it = mem;null = it++; null->ch[0] = null->ch[1] = null->fa = null; null->w = null->mx = null->lazy = null->tag = 0; } inline void newNode(int val){ Node *p = it++;p->w = p->mx = val; p->ch[0] = p->ch[1] = p->fa = null; p->lazy = p->tag = 0; } inline void push_down(Node *p){ if(p == null) return; if(p->lazy != 0){ if(p->ch[0] != null){ p->ch[0]->w += p->lazy; p->ch[0]->mx += p->lazy; p->ch[0]->lazy += p->lazy; } if(p->ch[1] != null){ p->ch[1]->w += p->lazy; p->ch[1]->mx += p->lazy; p->ch[1]->lazy += p->lazy; } p->lazy = 0; } if(p->tag != 0){ if(p->ch[0] != null) p->ch[0]->tag ^= 1; if(p->ch[1] != null) p->ch[1]->tag ^= 1; swap(p->ch[0],p->ch[1]); p->tag = 0; } } inline void rotate(Node *p,Node *x){ int k = p == x->ch[1]; Node *y = p->ch[k^1],*z = x->fa; if(z->ch[0] == x) z->ch[0] = p; if(z->ch[1] == x) z->ch[1] = p; if(y != null) y->fa = x; p->fa = z;p->ch[k^1] = x; x->fa = p;x->ch[k] = y; x->update();p->update(); } inline bool isroot(Node *p){ return (p->fa->ch[0] != p && p->fa->ch[1] != p); } Node* sta[maxn];int top; inline void splay(Node *p){ push_down(p); while(!isroot(p)){ Node *x = p->fa,*y = x->fa; push_down(y);push_down(x);push_down(p); if(isroot(x)) rotate(p,x); else if((p == x->ch[0])^(x == y->ch[0])) rotate(p,x),rotate(p,y); else rotate(x,y),rotate(p,x); }p->update(); } inline Node* Access(Node *u){ for(Node *v=null;u != null;v=u,u=u->fa) splay(u),u->ch[1] = v,u->update(); return u; } inline void makeRt(Node *u){ Access(u);splay(u);u->tag ^= 1; } inline void link(Node *u,Node *v){ makeRt(u);u->fa = v; } inline void cut(Node *u,Node *v){ makeRt(u);Access(v);splay(v); v->ch[0] = v->ch[0]->fa = null; v->update(); } inline Node* getRt(Node *u){ Access(u);splay(u); while(u->ch[0] != null) u = u->ch[0]; splay(u);return u; } inline void inc(Node *u,Node *v,int w){ makeRt(u);Access(v);splay(v); v->lazy += w;v->w += w;v->mx += w; } inline int query(Node *u,Node *v){ makeRt(u);Access(v);splay(v); return v->mx; } int a[maxn],b[maxn]; int main(){ int n; while(scanf("%d",&n) != EOF){ init(); for(int i=1;i<n;++i) read(a[i]),read(b[i]); for(int i=1,x;i<=n;++i){ read(x),newNode(x); } for(int i=1;i<n;++i) link(mem+a[i],mem+b[i]); int m;read(m); int op,x,y,z; while(m--){ read(op);read(x);read(y); if(op == 1){ if(getRt(mem+x) == getRt(mem+y)) puts("-1"); else link(mem+x,mem+y); }else if(op == 2){ if(getRt(mem+x) != getRt(mem+y) || x == y) puts("-1"); else cut(mem+x,mem+y); }else if(op == 3){ z = x;x = y;read(y); if(getRt(mem+x) != getRt(mem+y)) puts("-1"); else inc(mem+x,mem+y,z); }else if(op == 4){ if(getRt(mem+x) != getRt(mem+y)) puts("-1"); else printf("%d\n",query(mem+x,mem+y)); } }puts(""); } getchar();getchar(); return 0; }
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