Link Cut Tree学习小记

LCT

LCT几个月前就学了，花了我一整天问Alan_cty才搞会

LCT的左右就是维护树上的一些值，和树链剖分有相同的作用，也有超过树链剖分的作用

LCT也就是动态树，意思就是树是会动的，也就是有连边和删边两个操作

和链剖一样，边可以分为两种，重边（偏爱边）和轻边。一条重边连起来的是一条链，在同一棵splay中（也就是说有好多棵splay）

这样就会有两种树，我称之为原树和splay

splay中左子树都比当前点在原树中浅，右子树则都比当前点在原树中深

定义：

fa[x]表示x在splay中的父亲，没有就是0

p[x]为x在原树中的轻边父亲(Path Parent)，若没有或原树中x与它父亲的边为重边则为0

root为原树的根



如在上左图中，p[D]=B，而p[E]=0

操作access

access(x)表示将x到root之间的所有边变成重边，也就是把这些点放到同一棵splay中

注意一点，如上图中access(N)之后，原来A和B是重边，变成了轻边，这是因为一个点与所有儿子中只能有一条重边

Code

t[x][0/1]为splay中x的左/右子树

void access(int x)
{
int y=0;
while(x>0)
{
splay(x,0);
fa[t[x][1]]=0,p[t[x][1]]=x;
t[x][1]=y,fa[y]=x;
p[y]=0;
update(x);
y=x,x=p[x];
}
}

splay(x,y)就是在splay中将x旋转到y的下面

结合代码和图片再画一下图，应该可以理解

这个操作是LCT的核心

这个理解了，就相当于理解了LCT

注意：splay中的rotate操作在LCT中略微有点不同，因为有p[]这个数组，所以rotate在旋转的时候也要考虑到p[]

Code

bool lr(int x){return x==t[fa[x]][1];}
void rotate(int x)
{
int y=fa[x],k=lr(x);
t[y][k]=t[x][1-k];
if(t[x][1-k]) fa[t[x][1-k]]=y;
fa[x]=fa[y];
if(fa[y]) t[fa[y]][lr(y)]=x;
else p[x]=p[y],p[y]=0;//p[]的转移，做题时很容易漏
t[x][1-k]=y;fa[y]=x;
update(y);update(x);
}
void splay(int x,int y)
{
//我没打下传lazy，这里自行脑补上下传lazy操作
while(fa[x]!=y)
{
if(fa[fa[x]]!=y)
if(lr(x)==lr(fa[x])) rotate(fa[x]);
else rotate(x);
rotate(x);
}
}

操作makeroot

makeroot(x)表示把x变成原树的root

代码：

void makeroot(int x)
{
access(x);splay(x,0);rev[x]^=1;
}

rev为翻转标记

access(x)之后，x所在的splay中就有且只有x到root上的所有点，此时x在最深处

将splay旋转之后x就变成了最浅的点，也就是root

当splay被破坏或者被修改时，这个翻转会以p[]传到原树中，所以是正确的

这个是LCT操作中很重要的一个

接下来的操作就是用来玩的了

操作link

代码

void link(int x,int y)
{
makeroot(x);p[x]=y;
}

很好理解吧？将x和y连边（保证原来没边，连之后不形成环）

把x变成原树的根，将x的轻边父亲变成y

操作cut

代码

void cut(int x,int y)
{
makeroot(x);access(y);
splay(y,0);
t[y][0]=0;fa[x]=p[x]=0;
update(y);
}

这个高级一点

切掉x和y之间的连边（保证原来有边）

在makeroot和access后，splay就只有x和y两个点，断掉之间的边，维护好fa[]和p[]即可

点的询问/修改操作

当要修改或查询原树中x到y路径上的点时：

makeroot(x);access(y);splay(x,0);

这样之后，splay中x就代表了x到y路径

边的询问/修改操作

因为维护的数据都在点上，所以维护边的值时，要多开一个点，代表边的值，并与原来边相连的两个点连边，之后与上面点的修改查询一样

例题

最简单的：

洛谷和BZOJ中有 [Hnoi2010]Bounce 弹飞绵羊

就只用link，cut，查询树的大小

我的详细题解请点击这里

稍复杂的：

很多OJ都有 【NOI2014】魔法森林

我的详细题解请点击这里

更难一点的：

【GDSOI2017】中学生数据结构题

我的详细题解请点击这里

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