Link-Cut-Tree 学习笔记

花了挺长的时间学了LCT，还不是很熟练，还要继续写一些题来熟练。

给初学者的建议：

1、首先先学会链剖和splay，并能掌握它们的原理，熟练写模板。

2、了解LCT和链剖定义的不同，明确Access/Reverse操作各自的作用和原理。

3、在理解操作的原理之后，研究Link/Cut/Find操作如何将它们结合起来。

推荐一个ppt：PoPoQQQ的LCT讲解，挺清楚的，主要是原树和辅助树的关系讲的比较好，但是我不想学指针233

下面稍微摘录一点（From PoPoQQQ）

『LCT能干嘛』

（1）维护一个序列，支持下列操作：

区间求和

区间求最值

区间修改

求连续子段和

这个线段树就可以解决 具体做法不加累述了

（2）维护一个序列，支持下列操作：

区间求和

区间求最值

区间修改

求连续子段和

添加一段区间

删除一段区间

翻转一段区间

对Splay初学者来说几乎是噩梦级别的题目

其实不难(笑

Splay模板题(真心

（3）维护一棵树，支持下列操作：

链上求和

链上求最值

链上修改

子树修改

子树求和

换根

树链剖分！！！

（4）维护一棵树，支持下列操作：

链上求和

链上求最值

链上修改

断开树上的一条边

连接两个点，保证连接后仍然是一棵树

由于树是动态的，我们不能每次操作都重标号一遍 树链剖分搞不了了

然而我们可以沿用树链剖分的轻重链剖分的概念

既然是动态那么我们肯定要把静态的线段树换成动态的Splay

于是就有LCT=树链剖分+Splay

这就是我说为什么学LCT要先学链剖和splay的原因。

『引入一些概念』

Preferred Child：重儿子(为了便于理解这里沿用树链剖分中的命名)，重儿子与父亲节点同在一棵Splay中，一个节点最多只能有一个重儿子

Preferred Edge：重(zhòng)边，连接父亲节点和重儿子的边

Preferred Path：重链，由重边及重边连接的节点构成的链

『Auxiliary Tree(辅助树)』

由一条重链上的所有节点所构成的Splay称作这条链的辅助树

每个点的键值为这个点的深度，即这棵Splay的中序遍历是这条链从链顶到链底的所有节点构成的序列

辅助树的根节点的父亲指向链顶的父亲节点，然而链顶的父亲节点的儿子并不指向辅助树的根节点

（儿子人爹&&爹不认儿子）

原树中的重链 -> 辅助树中两个节点位于同一棵Splay中

原树中的轻链 -> 辅助树中子节点所在Splay的根节点的father指向父节点

注意原树与辅助树的结构并不相同

辅助树的根节点≠原树的根节点

辅助树中的father≠原树中的father

附图（依旧From PoPoQQQ）



由于要维护的信息已经都在辅助树中维护了，所以LCT无需维护原树，只维护辅助树即可

轻链和重链并不是固定的，随着算法的进行，轻链和重链随算法需要和题目要求而变化，然而无论怎么变化，由这棵辅助树一定能生成原树，并满足辅助树的所有性质

以上内容来自Po姐的ppt，再次深表敬意

那么我来说说LCT的几个操作：

『Access操作』

目的：将x的重边切断，并将x到根的路径上所有的边都搞成重边。

具体实现：根据辅助树按照深度为关键字的性质，重建一颗splay。不断地将一个结点的父亲转到根，然后把这个结点接到它父亲的右儿子。

『Reverse操作』

目的：将原树中的x结点转到根。

具体实现：因为原树是虚树，所以在原树中进行变换实际上是在辅助树中进行变换。首先Access一个点，再将这个点在辅助树中转到根。又是根据辅助书按照深度为关键字的性质，将这个点所在的splay树反转，实际上改变了深度的关系，也就是实现的原树的换根。

『Link操作』

目的：将两个不连通的点连通。换句话来说，合并或扔到一颗树里。

具体实现：首先进行Reverse操作，在原树中将一个点转到那个点所在的树的根。然后将这个转到根的点的father接到另外一个点上。可以进行一次splay来update。

『Cut操作』

目的：将两个连通的点不连通，换句话说，把一棵树拆成两棵树。

具体实现：首先进行Reverse操作，在原树中将一个点转到那个点所在的树的根。然后Access另外一个点，把另外一个点在辅助树中转到根。由于这两个点原先是连通的，那么进行Access操作之后两个点在辅助树中一定是一个位于根，一个位于根的左儿子（深度）。所以在辅助树中把这个边砍掉就行了。

『Find操作』

目的：寻找一个点在原树中的根。

用于：判断两个点的连通性。

具体实现：首先Access这个点，然后在辅助树中将这个点转到根，由于辅助树按照深度为关键字排序，所以不断地向左子树寻找，就可以找到深度最小的根。

差不多就这些把，还有一些奇怪的求和啊，维护最大值最小值什么的和线段树平衡树等数据结构基本一样。也难怪，LCT其实就是线段树、平衡树的延伸。

代码不附了，可以参考本博客LCT的题目（我学的是数组版，实在驾驭不了指针）

那么还需要感谢hzwer和他的模板（虽然有些改动= =）

还要感谢hxy神犇的帮助。