【线性代数】矩阵与线性方程组的几何意义
2017-02-07 19:28
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有线性方程组Ax=b。本文以三维为例,讨论其物理意义。
a11x1+a12x2+a13x3=b1
a21x1+a22x2+a23x3=b2
a31x1+a32x2+a33x3=b3
...
其中每一个三元一次方程代表三维空间中的一个平面。如果平面个数大于维度,称为超定方程;小于维度,称为欠定方程;等于维度,称为适定方程。
满足这个线性方程组的解x=[x1,x2,x3]同时属于所有平面。
如果三元一次方程是齐次的,形如a1x1+a2x2+a3x3=0,则该平面过原点。
证明:易证[0,0,0]满足该方程。
过原点的平面平移[x1¯,x2¯,x3¯],变为a1x1+a2x2+a3x3=a1x1¯+a2x2¯+a3x3¯
证明:系数不变说明角度不变,代入[x1¯,x2¯,x3¯]可知平移到此处。
常数项b变化时,平面角度不变,只发生平移。
证明:设变化前后有两个平面
a11x+1+a12x2+a13x3=b1
a11x+1+a12x2+a13x3=b′1
两式相减b1−b′1=0,可知两平面无交点,平行。
平面a1x1+a2x2+a3x3=b的法向量是[a1,a2,a3]
证明:将平面方程稍作变化
a1(x1−b/a1)+a2(x2−0)+a3(x3−0)=0
可以看做两个向量的内积
向量1:[a1,a2,a3]
向量2:[x1,x2,x3]−[b/a1,0,0]。这是连接平面上任一点[x1,x2,x3]和平面上固定点[b/a1,0,0]的向量。
向量内积为0,说明相互垂直。即平面垂直于法向量。
这里有个在线三维绘制工具可以体会一下。
【情况1】r(A)=3。
A的每一行,即所有平面的法向量[a11,a12,a13],[a21,a22,a23],[a31,a32,a33]...能够张成一个三维空间。
平面只有一个交点:[0,0,0],线性方程有一个解。
【情况2】r(A)=2。
所有平面的法向量,都处于同一个平面内。
由于三个平面都过同一个点[0,0,0],所以他们共有一条交线,线性方程有无穷多解。
这些解共线,换句话说,它们构成了一个二维的子空间。可以用x=cx¯表示。
【情况3】r(A)=1。
所有平面的法向量共线。
由于三个平面都过同一个点,所有平面重合于过[0,0,0]的平面,线性方程有无穷多解。同样可以用可以用x=cx¯表示。
特别地,当齐次方程组为适定的,即共有三个平面时,上述结论变成我们熟悉的矩阵性质。即如果r(A)=3,则A可逆,x=A−1b。
如果不经限定的平移,一般情况下方程组的解都会变少。只有当所有平面“绑定在一起”平移时,解的情况才不发生变化。
这种情况相当于所有平面都平移[x1¯,x2¯,x3¯]。
a11x1+a12x2+a13x3=a11x1¯+a12x2¯+a13x3¯
a21x1+a22x2+a23x3=a21x1¯+a22x2¯+a23x3¯
a31x1+a32x2+a33x3=a31x1¯+a32x2¯+a33x3¯
...
写成矩阵形式
Ax=b=Ax¯
即,常数项b可以表示成A的列的线性组合,即b处于A的列空间内。把A,b并列组成的增广矩阵[A;b]与系数矩阵A的秩相同。
从矩阵的角度来说,增加一列不会减少矩阵的秩,即r(A)≤r([A;b])。
如果r(A)=r([A;b]),则Ax=b的解的情况和Ax=0相同;
如果r(A)<r([A;b]),则Ax=b无解。
解的物理意义
上述线性方程组包含若干个三元一次方程:a11x1+a12x2+a13x3=b1
a21x1+a22x2+a23x3=b2
a31x1+a32x2+a33x3=b3
...
其中每一个三元一次方程代表三维空间中的一个平面。如果平面个数大于维度,称为超定方程;小于维度,称为欠定方程;等于维度,称为适定方程。
满足这个线性方程组的解x=[x1,x2,x3]同时属于所有平面。
线性方程与平面
在进一步矩阵和方程之前,先复习一下三维平面的性质。如果三元一次方程是齐次的,形如a1x1+a2x2+a3x3=0,则该平面过原点。
证明:易证[0,0,0]满足该方程。
过原点的平面平移[x1¯,x2¯,x3¯],变为a1x1+a2x2+a3x3=a1x1¯+a2x2¯+a3x3¯
证明:系数不变说明角度不变,代入[x1¯,x2¯,x3¯]可知平移到此处。
常数项b变化时,平面角度不变,只发生平移。
证明:设变化前后有两个平面
a11x+1+a12x2+a13x3=b1
a11x+1+a12x2+a13x3=b′1
两式相减b1−b′1=0,可知两平面无交点,平行。
平面a1x1+a2x2+a3x3=b的法向量是[a1,a2,a3]
证明:将平面方程稍作变化
a1(x1−b/a1)+a2(x2−0)+a3(x3−0)=0
可以看做两个向量的内积
向量1:[a1,a2,a3]
向量2:[x1,x2,x3]−[b/a1,0,0]。这是连接平面上任一点[x1,x2,x3]和平面上固定点[b/a1,0,0]的向量。
向量内积为0,说明相互垂直。即平面垂直于法向量。
这里有个在线三维绘制工具可以体会一下。
齐次方程组
齐次方程组具有形式Ax=0,平面都是过原点的。根据系数矩阵A的秩不同,有以下三种情况。【情况1】r(A)=3。
A的每一行,即所有平面的法向量[a11,a12,a13],[a21,a22,a23],[a31,a32,a33]...能够张成一个三维空间。
平面只有一个交点:[0,0,0],线性方程有一个解。
【情况2】r(A)=2。
所有平面的法向量,都处于同一个平面内。
由于三个平面都过同一个点[0,0,0],所以他们共有一条交线,线性方程有无穷多解。
这些解共线,换句话说,它们构成了一个二维的子空间。可以用x=cx¯表示。
【情况3】r(A)=1。
所有平面的法向量共线。
由于三个平面都过同一个点,所有平面重合于过[0,0,0]的平面,线性方程有无穷多解。同样可以用可以用x=cx¯表示。
特别地,当齐次方程组为适定的,即共有三个平面时,上述结论变成我们熟悉的矩阵性质。即如果r(A)=3,则A可逆,x=A−1b。
非齐次方程组
非齐次方程具有形式Ax=b。相当于把前述若干平面进行平移。如果不经限定的平移,一般情况下方程组的解都会变少。只有当所有平面“绑定在一起”平移时,解的情况才不发生变化。
这种情况相当于所有平面都平移[x1¯,x2¯,x3¯]。
a11x1+a12x2+a13x3=a11x1¯+a12x2¯+a13x3¯
a21x1+a22x2+a23x3=a21x1¯+a22x2¯+a23x3¯
a31x1+a32x2+a33x3=a31x1¯+a32x2¯+a33x3¯
...
写成矩阵形式
Ax=b=Ax¯
即,常数项b可以表示成A的列的线性组合,即b处于A的列空间内。把A,b并列组成的增广矩阵[A;b]与系数矩阵A的秩相同。
从矩阵的角度来说,增加一列不会减少矩阵的秩,即r(A)≤r([A;b])。
如果r(A)=r([A;b]),则Ax=b的解的情况和Ax=0相同;
如果r(A)<r([A;b]),则Ax=b无解。
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