向量、矩阵乘法的几何意义（一） scalar multiplication VS scalar product

1、scalar multiplication 纯量乘法
（1）定义：
纯量乘法是指一个标量r与一个向量V（或矩阵M）相乘，其结果为一个向量（矩阵），该向量（矩阵）的每一个元素为标量r与V（M）中对应位置元素的乘积。
（2）几何意义：
Scaling：对向量（矩阵）各维上的伸（stretch, r>1）缩（shrink, 0<r<1）。Scalar multiplication is a way to change the size of a configuration of points by stretching or shrinking them on all dimensions.

2、scalar product (dot product, inner product) 数积、标量积、内积
（1） 定义：两个向量的内积的结果是一个标量，其定义如下






（1）






（2）
（2） 几何意义：
Projection：如图1所示，两个向量的内积可以看做是其中一个向量（看成向量空间中的一个点）向另一个向量（看成向量空间中的一条有向线段，directed line segment）的投影，投影的距离长度为内积的值。
还有一种说法是向量a在向量b上的投影是






（3）







图1 两向量内积的几何解释
参考资料：
《Analyzing Multivariate Data》
http://en.wikipedia.org/wiki/Scalar_multiplication
http://www.purplemath.com/modules/mtrxmult.htm