矩阵的几何意义

实数组的几何意义：（a，b）和（a，b，c）分别代表平面和三维空间上的一个点

矩阵的几何意义：在线性空间中，如果确定了一个基，线性映射就可以用确定的矩阵表示。

                即线性空间上的线性映射。

 

矩阵 独立的几何意义表现为对向量作用的结果。

矩阵对一个向量是如何作用的？

矩阵对多个向量是如何作用的？

矩阵对几何图形（由无数个向量组成的几何图形）是如何作用的？

在矩阵对一个几何图形的作用的研究中，我们会发现一些规律，如特征向量、秩 等等。

矩阵方程Ax=b和对应的向量方程xa（下标为1）+……+xa（下标为2）之间的差别仅仅是记号上的不同。

通常的情况是，把矩阵A当作一种“对象”，她通过乘法，“作用”于向量x，产生的新向量称为Ax。





深入理解 定义域，值域





定义域，值域





矩阵作为向量变换的动态观念





剪切变换







线性变换





信号系统中的应用





旋转变换







线性变换（矩阵是如何工作的？）




任何矩阵具体的变换方式，是相对于 上面的单位正方形 来工作的。（即二维的，若是三维的，则是单位正方体……现在，矩阵的变换作用一切变得可以 理解了！）

可以理解，为什么一般矩阵要简化成 上三角 or 下三角形。














矩阵乘法对应线性变换的复合。

矩阵乘法：





矩阵乘法，左右顺序必须保持不变
一般来说，AB和BA是不同的.
这并不奇怪，因为AB的列是A的各列的线性组合；而BA的列是B的各列的线性组合
乘法一般不可交换，是矩阵代数和普通代数的重要差别。

可逆矩阵，即非奇异矩阵




可逆、非奇异，行列式不等于零……