Digimat-MF：平均场均匀化——（五）方向张量

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　　在实际的复合材料中，方向分布函数（ODF）很难通过实验测定或者通过数值方法预测。

　　在定义方向张量之前，首先引入方向平均的表示方法。令μ(p)为RVE内部的一个方向场，它的方向平均是对利用ODF权重后的方向场在所有方向上进行积分：

⟨μ(p)⟩ψi=∮μ(p)ψi(p)dp

　　二阶和四阶方向张量a和A是以下方向平均：

a≡⟨p⊗p⟩ψ,A≡⟨p⊗p⊗p⊗p⟩ψ

其中，a和A分别是方向场p的统计二阶和四阶矩。这两个张量给出了RVE内部夹杂的平均方向信息。从定义可以看出，这些张量满足一系列条件：

aij=aji,a11,a22,a33≥0,aii=1

Aijij≥0(非求和),Aijll=aij

　　Digimat-MF检查用户关于二阶张量a的输入。其中后者存储在一个3×3的对称矩阵中。

　　一些特殊的方向张量表达式：

　　（1） diag(1,0,0)为沿1方向对齐；

　　（2） diag(1/2,1/2,0)为垂直3方向的平面（1-2平面）内随机分布；

　　（3） diag(1/3,1/3,1/3)为空间随机分布。

【本文译自Digimat-MF帮助文档。】