Digimat-MF：平均场均匀化——（三）两相复合材料的MFH模型

【未经许可，不得转载！】

　　回到由刚度为C0的基体和刚度为C1的几个夹杂体组成的复合材料RVE问题。在边界上施加对应于远程应变E的线性位移。不像单夹杂问题，多夹杂问题没有解析解。因此，几个MFH模型均基于不同的假设，但它们都使用单夹杂问题的解。

自洽模型（Self-consistent model, S-C model）

　　自洽模型假设每个夹杂体表现得好像自身孤立在一个修改的基体中，该基体的刚度未知。该固体是无限的，且施加有远程应变E。利用单夹杂问题的解，真实RVE中每个夹杂体I中的应变为：

ε(x)=Hε(I,C¯,C1):E,∀x∈I

　　自洽模型可以应用于一般的复合材料（不仅仅是简单两相复合材料），甚至是无基体相的材料。但是，对于真实复合材料来说，自洽模型的预测精度通常较差（过于刚性）。因此，自洽模型目前并不能在Digimat-MF中使用。

Mori-Tanaka模型（1973）

　　该模型由Mori和Tanaka于1973年提出。该模型的求解基于Eshelby解的近似使用。应变集中张量使所有夹杂体的体积平均应变与平均基体应变相关：

Bε=Hε(I,C0,C1)

这就是单夹杂问题的应变集中张量。Benveniste于1987年给出了Mori-Tanaka模型的简单解释：真实RVE中的每个夹杂体表现得孤立于真实基体材料一样。该材料是无限的，且施加了和远程应变一样的平均基体应变（average matrix strains），如图 1.5所示。



图1.5 Mori-Tanaka模型示意图

　　Mori-Tanaka模型在预测两相复合材料有效属性上非常成功。理论上，它严格限制于中等夹杂体积分数（小于25%），但实际上超过该范围体积分数的复合材料有效属性也能较好的预测。

双夹杂模型（Double inclusion model, D-I model）

　　双夹杂模型由Nemat-Nasser和Hori于1993年提出。该模型基于以下想法：刚度为C1的每个夹杂体I被由刚度为C0的真实基体材料包裹，在基体材料之外的区域是刚度为Cr的参考介质（reference medium）。换句话说，真实RVE被由虚拟的模型复合材料所代替，该材料由刚度为Cr的参考基体和刚度为C1的夹杂体以及覆盖在其表层的刚度为C0的材料所构成（因此，称为双夹杂），如图 1.6所示。



图1.6 双夹杂模型的示意图

　　在体积和体积分数之间存在下列不等式

V(I)V(I0)≥ν11−ν1

　　实际上，双夹杂模型是一族MFH模型，这些模型对应于不同参考介质刚度的选择。特别地，有下列三种情况：

Cr=C¯（复合材料）：自洽模型

Cr=C0（基体）：Mori-Tanaka模型，Bε=Hε(I,C0,C1)≡Bεl

Cr=C1（夹杂体）：Mori-Tanaka逆模型，Bε=[Hε(I,C0,C1)]−1≡Bεu

　　第3种情况，Mori-Tanaka逆模型可以通过在夹杂体和基体材料属性间轮换来直接从真实RVE得到，这可以看作是夹杂体体分比如此高以至于夹杂体快形成一个连续的基体相的情况。Mori-Tanaka模型和逆模型结果对应于Hashin-Strikman（H-S）边界。

　　假定夹杂体比基体刚硬，那么Mori-Tanaka模型结果对应H-S下边界，而逆模型结果给定H-S上边界。

　　上述关于Mori-Tanaka模型和逆模型的结果，使得Lielens于1990年提出了一个插值双夹杂模型，该模型定义为下述应变集中张量使所有夹杂体的体积平均应变与平均基体应变相关：

Bε=[(1−ξ(ν1))(Bεl)−1+ξ(ν1)(Bεu)−1]

其中ξ(ν1)是一个光滑插值函数，可以简单选取为二次函数

ξ(ν1)=12ν1(1+ν1)

　　对于线弹性两相复合材料，双夹杂模型通常能给出优秀的有效属性预测值。该模型适用于所有夹杂体体分比、纵横比和（夹杂体/基体）刚度比的情况。该模型在Digimat中可用。

【本文译自Digimat-MF帮助文档。】