Digimat-MF：广义平均结果（General averaging results）

　　两尺度（更广义的是多尺度）方法的主要困难是求解RVE问题。在宏观层级上进行经典连续介质力学分析时，每个宏观点X上，给定宏观应变E(X)，需要求解宏观应力σ(X)，反之亦然。

　　在RVE（区域为ω，体积为V）上对场f进行的平均化定义为：

⟨f(X,x)⟩≡1V∫ωf(X,x)dV

其中，积分是在微观坐标上进行的，f(X,x)是RVE内部的微观场。

　　以下为了简化表述，省略了宏观坐标X。考虑两种经典的边界条件：（1）线性位移；（2）均匀力。前者对应的宏观应变（或者施加的宏观位移梯度），后者对应已知的宏观应力。

宏观位移梯度G和应变E=(G+GT)/2

　　在微观层级，RVE的边界∂ω上施加线性位移

ui(x)=Gijxj,x∈∂ω

　　结果：平均应变等于宏观应变，即⟨εij⟩=Eij。

宏观应力σ

　　在微观层级，在边界∂ω上施加力：

　　Fi(x)=σijnj(x),x∈∂ω

其中，n为边界∂ω上朝外的单位法向量。

　　结果：平均应力等于宏观应力

⟨σij⟩=σij

结论

　　对于处在经典边界条件下的RVE，宏观应变和应力等于RVE的体积平均值（RVE内部的微观应变和应力是未知的）。

　　考虑任意自平衡的微观应力场和微观应变场

σ∗ij=σ∗ji,∂σ∗ij∂xj=0,∀x∈ω,ε∗ij=12(∂u∗i∂xj+∂u∗j∂xi)

其中u(X)是与ε∗(X)对应的微观位移场。

　　注意：σ∗(X)和ε∗(X)不需要相关。

　　如果ε∗(X)满足在边界∂ω上的线性位移边界条件（1）或者σ∗(X)满足在边界∂ω上的均匀力边界条件（2），那么

⟨σ∗:ε∗⟩=⟨σ∗⟩:⟨ε∗⟩

　　这就是熟知的Hill’s macro-homogeneity condition或者Hill-Mandell条件。在线弹性情况下，条件有着简单有力的解释：如果σ∗(X)和ε∗(X)相关，那么微观能的平均值等于宏观能。