一阶导数与二阶导数的计算

图像\(I\)可以看作\((x, y) \in N^2 \to N\)的映射: \(i = f(x, y)\). 其中\(N\)为正整数.很明显\(f\)在定义域上是不连续的.
不连续函数\(f(x, y)\)的导数, 严格来说不算能算作导数, 只是形式上与真正的导数相似. 取\(\Delta x = 1\), 一阶与二阶偏导数分别为:
\[ \frac {\partial f}{\partial x} = f(x + 1) - f(x) \]
or
\[ \frac {\partial f}{\partial x} = f(x) - f(x -1) \]

\[ \frac {\partial^2 f}{\partial x^2} = \frac {\partial f'}{\partial x} = f'(x + 1) - f'(x) = f(x + 1) - f(x) - f(x) - f(x-1) = f(x + 1) + f(x -1) - 2f(x) \]
为简单起见, \(f(x, y)\)简写成\(f(x)\), 因为求关于\(x\)的偏导数时\(y\)是恒定的.

作为Spatial Domain Filter的特点

• 一阶导数提取出来的边缘较粗,
• 二阶导数对细节更敏感, 如细线, 噪声等. 它提取出来的边缘更细更强(sharp)
• 二阶导数的符号可用来判断一个转变(transition)是从亮到暗或者相反.

• 应用二阶导数时容易出现double-line effect. (中间位置的二阶导数值与两边的往往不同). 出现双线效应的前提是线本身的宽度小于mask, 否则就不当作线, 而是region了.(见10.2.3)

  注意, 上面的中间和两边的含义是: 只在一条水平线考察图片, \(x\)处理edge上为中间位置, \(x-1, x+1\)为两边位置.

Reference

• Digital Image Processing, 3rd edition, Chapter 10