图像处理中的一阶偏导数和二阶偏导数

 1. 一阶差分：



 

2. 二阶偏导数的推导和近似：



 

3. 上式以点（i+1，j）为中心，用i代换i+1可得以（i,j）为中心的二阶偏导数则有：



 

4. 同理：



 

5. 进而可推导：



 

6. 这样我们就可以很好的运用其他的一阶偏导的定义，如SIFT特征OpenCV实现版本中的一阶以及二阶偏导：

[cpp] view
plain copy

/* 

Computes the partial derivatives in x, y, and scale of a pixel in the DoG 

scale space pyramid. 

 

@param dog_pyr DoG scale space pyramid 

@param octv pixel's octave in dog_pyr 

@param intvl pixel's interval in octv 

@param r pixel's image row 

@param c pixel's image col 

 

@return Returns the vector of partial derivatives for pixel I 

    { dI/dx, dI/dy, dI/ds }^T as a CvMat* 

*/  

static CvMat* deriv_3D( IplImage*** dog_pyr, int octv, int intvl, int r, int c )  

{  

    CvMat* dI;  

    double dx, dy, ds;  

  

    dx = ( pixval32f( dog_pyr[octv][intvl], r, c+1 ) -  

        pixval32f( dog_pyr[octv][intvl], r, c-1 ) ) / 2.0;  

    dy = ( pixval32f( dog_pyr[octv][intvl], r+1, c ) -  

        pixval32f( dog_pyr[octv][intvl], r-1, c ) ) / 2.0;  

    ds = ( pixval32f( dog_pyr[octv][intvl+1], r, c ) -  

        pixval32f( dog_pyr[octv][intvl-1], r, c ) ) / 2.0;  

  

    dI = cvCreateMat( 3, 1, CV_64FC1 );  

    cvmSet( dI, 0, 0, dx );  

    cvmSet( dI, 1, 0, dy );  

    cvmSet( dI, 2, 0, ds );  

  

    return dI;  

}  

  

  

  

/* 

Computes the 3D Hessian matrix for a pixel in the DoG scale space pyramid. 

 

@param dog_pyr DoG scale space pyramid 

@param octv pixel's octave in dog_pyr 

@param intvl pixel's interval in octv 

@param r pixel's image row 

@param c pixel's image col 

 

@return Returns the Hessian matrix (below) for pixel I as a CvMat* 

 

    / Ixx  Ixy  Ixs / <BR> 

    | Ixy  Iyy  Iys | <BR> 

    / Ixs  Iys  Iss / 

*/  

static CvMat* hessian_3D( IplImage*** dog_pyr, int octv, int intvl, int r, int c )  

{  

    CvMat* H;  

    double v, dxx, dyy, dss, dxy, dxs, dys;  

  

    v = pixval32f( dog_pyr[octv][intvl], r, c );  

    dxx = ( pixval32f( dog_pyr[octv][intvl], r, c+1 ) +   

            pixval32f( dog_pyr[octv][intvl], r, c-1 ) - 2 * v );  

    dyy = ( pixval32f( dog_pyr[octv][intvl], r+1, c ) +  

            pixval32f( dog_pyr[octv][intvl], r-1, c ) - 2 * v );  

    dss = ( pixval32f( dog_pyr[octv][intvl+1], r, c ) +  

            pixval32f( dog_pyr[octv][intvl-1], r, c ) - 2 * v );  

    dxy = ( pixval32f( dog_pyr[octv][intvl], r+1, c+1 ) -  

            pixval32f( dog_pyr[octv][intvl], r+1, c-1 ) -  

            pixval32f( dog_pyr[octv][intvl], r-1, c+1 ) +  

            pixval32f( dog_pyr[octv][intvl], r-1, c-1 ) ) / 4.0;  

    dxs = ( pixval32f( dog_pyr[octv][intvl+1], r, c+1 ) -  

            pixval32f( dog_pyr[octv][intvl+1], r, c-1 ) -  

            pixval32f( dog_pyr[octv][intvl-1], r, c+1 ) +  

            pixval32f( dog_pyr[octv][intvl-1], r, c-1 ) ) / 4.0;  

    dys = ( pixval32f( dog_pyr[octv][intvl+1], r+1, c ) -  

            pixval32f( dog_pyr[octv][intvl+1], r-1, c ) -  

            pixval32f( dog_pyr[octv][intvl-1], r+1, c ) +  

            pixval32f( dog_pyr[octv][intvl-1], r-1, c ) ) / 4.0;  

  

    H = cvCreateMat( 3, 3, CV_64FC1 );  

    cvmSet( H, 0, 0, dxx );  

    cvmSet( H, 0, 1, dxy );  

    cvmSet( H, 0, 2, dxs );  

    cvmSet( H, 1, 0, dxy );  

    cvmSet( H, 1, 1, dyy );  

    cvmSet( H, 1, 2, dys );  

    cvmSet( H, 2, 0, dxs );  

    cvmSet( H, 2, 1, dys );  

    cvmSet( H, 2, 2, dss );  

  

    return H;  

}  

 

参考：

（1）http://hi.baidu.com/shareshow/blog/item/34abdf544725cf54d109069b.html

（2）SIFT的OpenCV实现