图像处理－线性滤波－2 图像微分（1、2阶导数和拉普拉斯算子）

更复杂些的滤波算子一般是先利用高斯滤波来平滑，然后计算其1阶和2阶微分。由于它们滤除高频和低频，因此称为带通滤波器（band-pass filters）。

在介绍具体的带通滤波器前，先介绍必备的图像微分知识。

1 一阶导数

连续函数，其微分可表达为

，或


（1.1）

对于离散情况（图像），其导数必须用差分方差来近似，有



，前向差分
forward differencing （1.2）



，中心差分
central differencing （1.3）

1）前向差分的Matlab实现

2）中心差分的Matlab实现

实例：技术图像x方向导数







原图像 x方向1阶导数

2 图像梯度（Image Gradient）

图像I的梯度定义为


，其幅值为

。出于计算性能考虑，幅值也可用

来近似。

Matlab函数

1）gradient：梯度计算
2）quiver：以箭头形状绘制梯度。注意放大下面最右侧图可看到箭头，由于这里计算横竖两个方向的梯度，因此箭头方向都是水平或垂直的。

实例：仍采用上面的原始图像







梯度幅值 梯度幅值+梯度方向

3 二阶导数

对于一维函数，其二阶导数

，即

。它的差分函数为




（3.1）

3.1 普拉斯算子（laplacian operator）

3.1.2 概念

拉普拉斯算子是n维欧式空间的一个二阶微分算子。它定义为两个梯度向量算子的内积




（3.2）

其在二维空间上的公式为：

（3.3)

对于1维离散情况，其二阶导数变为二阶差分

1）首先，其一阶差分为



2）因此，二阶差分为




3）因此，1维拉普拉斯运算可以通过1维卷积核

实现

对于2维离散情况（图像），拉普拉斯算子是2个维上二阶差分的和（见式3.3），其公式为：




（3.4）

上式对应的卷积核为





常用的拉普拉斯核有：

3.1.2 应用

拉普拉斯算子会突出像素值快速变化的区域，因此常用于边缘检测。

Matlab里有两个函数

1）del2

计算公式：

，



2）fspecial：图像处理中一般利用Matlab函数fspecial

h = fspecial('laplacian', alpha) returns a 3-by-3 filter approximating the shape of the two-dimensional Laplacian operator.

The parameter alpha controls the shape of the Laplacian and must be in the range 0.0 to 1.0. The default value for alpha is 0.2.

图像处理之一阶微分应用

一：数学背景

首先看一下一维的微分公式Δf = f(x+1) – f(x), 对于一幅二维的数字图像f(x,y)而言，需要完

成XY两个方向上的微分，所以有如下的公式：



分别对X,Y两个方向上求出它们的偏微分，最终得到梯度Delta F.

对于离散的图像来说,一阶微分的数学表达相当于两个相邻像素的差值，根据选择的梯度算

子不同，效果可能有所不同，但是基本原理不会变化。最常见的算子为Roberts算子，其它

常见还有Sobel，Prewitt等算子。以Roberts算子为例的X,Y的梯度计算演示如下图：



二：图像微分应用

图像微分(梯度计算)是图像边缘提取的重要的中间步骤，根据X,Y方向的梯度向量值，可以

得到如下两个重要参数振幅magnitude, 角度theta，计算公式如下：



Theta = tan-1(yGradient/xGradient)

magnitude表示边缘强度信息

theta预言边缘的方向走势。

假如对一幅数字图像，求出magnitude之后与原来每个像素点对应值相加，则图像边缘将被

大大加强，轮廓更加明显，是一个很典型的sharp filter的效果。

三：程序效果

X, Y梯度效果，及magnitude效果






图像微分的Sharp效果：